Middelpunten van een kegelsnede

• Middelpunt van een kegelsnede
  
• Gevolgen
  
• Stelling 1
  
• Stelling 2
  
• Formule
  

Middelpunt van een kegelsnede

Gevolgen

• De oneigenlijke rechte heeft juist 1 pool ten opzichte van een niet ontaarde kegelsnede. Dus elke niet ontaarde kegelsnede heeft juist 1 middelpunt.
• Men kan aantonen dat

   
          punt P is een eigenlijk middelpunt
  <=>
          punt p is een symmetriepunt van de kegelsnede
  

• Het middelpunt van een niet ontaarde parabool is het oneigenlijk punt van die parabool.
• Elk dubbelpunt is een middelpunt.

Stelling 1

Bewijs:

1. Punt C is geen dubbelpunt

    
           C is geen dubbelpunt
   
   =>      De poollijn van C is de oneigenlijke rechte
   
   =>      x.Fx' (xo,yo,zo) + y.Fy' (xo,yo,zo) + z.Fz' (xo,yo,zo) = 0
           is 0.x + 0.y + 1.z = 0
   
   =>      Fx' (xo,yo,zo) = 0 en Fy' (xo,yo,zo) = 0
   

2. Punt C is dubbelpunt
   Nu is het vanzelfsprekend dat F_x' (x_o,y_o,z_o) = 0 en F_y' (x_o,y_o,z_o) = 0

Stelling 2

Bewijs:

1. Punt C is dubbelpunt
   

    
   =>      C is een pool van de oneigenlijke rechte
   
   =>      C is een middelpunt
   

2. Punt C is geen dubbelpunt => F_z' (x_o,y_o,z_o) is niet 0

    
           De poollijn van  C(xo,yo,zo) is
           x.Fx' (xo,yo,zo) + y.Fy' (xo,yo,zo) + z.Fz' (xo,yo,zo) = 0
   <=>
           De poollijn van  C(xo,yo,zo) is
           x.0 + y.0 + z.Fz' (xo,yo,zo) = 0
   <=>
           De poollijn van  C(xo,yo,zo) is
            z = 0
   
   =>      Punt C is middelpunt
   

Formule

 
        C is middelpunt van een kegelsnede F(x,y,z) = 0
<=>
        De coordinaten van C zijn oplossingen van het stelsel
                / Fx' (x,y,z) = 0
                \ Fy' (x,y,z) = 0