De Cirkel --- Uitbreiding

• De Cirkel --- Basisbegrippen
  
• Parametervergelijkingen van een cirkel
  
• Vier punten op een cirkel en vergelijking van een cirkel door drie punten
  
• Macht van een punt
  
  • Macht van een punt ten opzichte van een cirkel
    
  • Analytische uitdrukking voor de macht van een punt
    
  • machtlijn
    
  • machtpunt
    
• Oefeningen
  

De Cirkel --- Basisbegrippen

Parametervergelijkingen van een cirkel

 
     P(x,y) ligt op C
<=>
    / x = a + r cos(t)
    \ y = b + r sin(t)

<=>
    / (x - a)/r = cos(t)
    \ (y - b)/r = sin(t)

<=>
     ( (x - a)/r )2 + ( (y - b)/r )2 = 1
<=>
     (x - a)2  + (y - b)2 = r2
<=>
    P(x,y) ligt op de cirkel met middelpunt (a,b) en straal r

Met elke t correspondeert een punt van de cirkel en omgekeerd.

P(a + r cos(t), b + r sin(t)) is een veranderlijk punt van de cirkel. Als t vloeiend verandert doorloopt P de cirkel.

Voorbeeld 1:

De cirkel C heeft vergelijking (x - 3)2 + (y - 6)2 = 25 en P(6,10) ligt op C. Noem M het middelpunt van C. Bereken de punten A en B op C zodat |PA|=|PB| = 5.

Daar de straal van de cirkel 5 is zijn de driehoeken MPA en MPB gelijkzijdig. De hoeken zijn dan pi/3 radialen.

De parametervergelijkingen van C zijn : [ x = 3 + 5 cos(t) , y = 6 + 5 sin(t) ].

Het punt P correspondeert met t_o zodat cos(t_o)=0.6 en sin(t_o)= 0.8. Hieruit halen we t_o = 0.927295218

Voor punt A is t dan t_o+pi/3 en dan is A(1.036 , 10.598)

Voor punt B is t dan t_o-pi/3 en dan is B(7.964 , 5.402)

Voorbeeld 2:

We nemen een cirkeldeel voorgesteld door de parametervergelijkingen [ x = cos(t) , y = 1 + sin(t) ] met t in [- pi/2 , 0] en de kromme y = arccos(x). Bereken het snijpunt van deze twee krommen.

Daartoe moeten we de t-waarde berekenen zodat 1 + sin(t) = arccos(cos(t)).
Daar t in [- pi/2 , 0] ligt is arccos(cos(t)) = -t.
We zoeken dus t zodat 1 + sin(t) = -t of sin(t) + t + 1 = 0.
De laatste vergelijking is niet algebraisch op te lossen. Met behulp van een plot kunnen we t goed benaderen. We vinden t = -0.51 als een eerste benadering.
Met een efficiente iteratiemethode vinden we in slechts 4 stappen een zeer goede waarde voor t.
-0.51
-0.51090446454
-0.510972899149
-0.510973425307
-0.510973429357

Het gezochte snijpunt van de twee krommen is bij benadering ( 0.87 , 0.51)

Vier punten op een cirkel en vergelijking van een cirkel door drie punten

 
Gegeven : punten P1(x1,y1); P2(x2,y2); P3(x3,y3); P4(x4,y4)
          Geen drie punten zijn collineair.

        De vier punten liggen op een cirkel

                <=>

        Er is een cirkel

        x2  + y2  + a x + b y + c = 0
        zodat de punten erop liggen

                <=>

        Er bestaan getallen a, b en c zodat
     /
     |  x12  + y12  + a x1 + b y1 + c = 0
     |  x22  + y22  + a x2 + b y2 + c = 0
     |  x32 + y32   + a x3 + b y3 + c = 0
     |  x42  + y42  + a x4 + b y4 + c = 0
     \

                <=>

        Er bestaan getallen a, b en c zodat

          /
          | a x1 + b y1 + c = -(x12  + y12 )
          | a x2 + b y2 + c = -(x22  + y22 )
          | a x3 + b y3 + c = -(x32 + y32  )
          | a x4 + b y4 + c = -(x42  + y42 )
          \


        Dit is een stelsel van 4 vergelijkingen met 3 onbekenden.
        We weten uit de theorie van de stelsels van lineaire vergelijkingen dat de
        coefficientenmatrix is :

     [   x1     y1   1   ]
     [   x2     y2   1   ]
     [   x3     y3   1   ]
     [   x4     y4   1   ]

        Omdat P1,P2,P3 niet op 1 rechte liggen, is de rang van deze
        matrix drie. De laatste vergelijking is de neven vergelijking.
        De karakteristieke determinant van deze vergelijking is


     |  x1     y1   1  -(x12  + y12 ) |
     |  x2     y2   1  -(x22  + y22 ) |
     |  x3     y3   1  -(x32  + y32 ) |
     |  x4     y4   1  -(x42  + y42 ) |


        Dit stelsel heeft een oplossing voor a, b en c als en slechts als
        deze determinant nul is. Gebruik makend van eigenschappen van determinanten
        kunnen we die determinant omvormen tot

     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0
     |(x42  + y42 )   x4     y4   1 |

 
De vier punten P1(x1,y1); P2(x2,y2); P3(x3,y3); P4(x4,y4)
liggen op een cirkel

                <=>

     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0
     |(x42  + y42 )   x4     y4   1 |

 
        Neem P1,P2,P3 niet collineair

        Punt P(x,y) ligt op de cirkel gedefinieerd door  P1,P2,P3

                        <=>
        P,P1,P2,P3 liggen op een cirkel

                        <=>
     |(x2  + y2   )   x      y    1 |
     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0

 
De vergelijking van een cirkel door 3 gegeven niet collineaire punten
    P1(x1,y1); P2(x2,y2); P3(x3,y3) is

     |(x2  + y2   )   x      y    1 |
     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0

Macht van een punt

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel

We hebben (vectoren staan in het vetjes)

 
        PA . PA' = (PN + NA)(PN + NA')
                 = (PN + NA)(PN - NA)
                     2     2
                 = PN  - NA

                 = |P,N|2  - |N,A|2

Nu is   |P,N|2 = d2  - |M,N|2   and |N,A|2 =   r2  - |M,N|2

Dus     PA . PA' = d2 - r2

Analytische uitdrukking voor de macht van een punt

 
        (x - a)2  + (y - b)2 - r2  = 0

 
        d2 - r2  = (xo - a)2  + (yo - b)2 - r2

 
De macht van  P(xo,yo) ten opzichte van een cirkel C met vergelijking
        (x - a)2  + (y - b)2 - r2  = 0
is
        (xo - a)2  + (yo - b)2 - r2

 
C :     (x - 2)2  + (y - 3)2  = 25  en  P(3,1)

De macht van P ten opzichte van C is   1 + 4 - 25 = - 20

machtlijn

 
C1:     (x - a)2  + (y - b)2 - r2  = 0
C2:     (x - c)2  + (y - d)2 - r'2 = 0

 
  De macht van P ten opzichte van C1 = De macht van P ten opzichte van  C2.

                                <=>
  (x - a)2  + (y - b)2 - r2  =  (x - c)2  + (y - d)2 - r'2

                                <=>
                (a - c) x + (b - d) y + k = 0

 
C1:     x2  + y2  = 25

C2:     (x - 2)2  + (y - 3)2  = 9

De machtlijn is 4 x + 6 y - 29 = 0

machtpunt

Oefeningen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.

• 
  

  Een cirkel C heeft vergelijking (x-3)2 +(y-7)2 = 49 Bereken de raaklijnen van uit het punt A(15,5) aan C.

  
  

  1. Eerste methode:

     We nemen een rechte door A met veranderlijke rico m.
     y - 5 = m (x - 15)
     De rechte raakt aan C als en slechts als de 2 snijpunten met C samenvallen.
     Die snijpunten zijn de oplossingen van het stelsel

      
       / y - 5 = m (x - 15)
       |
       \ (x-3)2 +(y-7)2 = 49
     

     Als we y uit de eerste vergelijking in de tweede brengen krijgen we een vierkantsvergelijking. Na uitwerken en rangschikken vinden we

     (1 + m²) x² - (4 m + 30 m² + 6) x + 225 m² + 60 m - 36
     

     De twee snijpunten vallen samen als en slechts als de discriminant van die vierkantsvergelijking nul is.

     -380 m² - 192 m + 180 = 0

     De twee waarden van m zijn -0.986 en 0.481
     De raaklijnen uit A aan de cirkel zijn dan
     y - 5 = -0.986 (x - 15) en y - 5 = 0.481 (x - 15)
     

  2. Tweede methode:

     We nemen een rechte door A met veranderlijke rico m.
     y - 5 = m (x - 15) <=> m x - y + 5 -15 m
     De rechte raakt aan C als en slechts als de afstand van het middelpunt M(3,7) van C tot die rechte gelijk is aan de straal 7. De voorwaarde is

      
          | m 3 - 7 + 5 -15 m |
          --------------------- = 7
              sqrt( m2 + 1)
     
     <=>
     
         (12 m + 2)2 = 49 (m2 + 1)
     
     

     Dit is een vierkantsvergelijking in m en men vindt exact dezelfde waarden van m als in de eerste methode.

• 
  

  Een variabele cirkel C heeft vergelijking x2 + y2 - 2 (t2 - 3 t + 1) x - 2 (t2 + 2 t) y + t = 0 t is een parameter. Bereken het punt P waarvoor de macht van P ten opzichte van de cirkel niet afhangt van t. Bereken daarna die macht.

  
  

  Stel dat P coordinaten (r,s) heeft, dan is de macht van P ten opzichte van de cirkel C

   
       r2 + s2 - 2 (t2 - 3 t + 1) r - 2 (t2 + 2 t) s + t
  
  <=>  -(2 s + 2 r) t2 + (6 r - 4 s + 1) t + r2 + s2 - 2 r
  

  Deze macht is onafhankelijk van de parameter t als en slechts als

   
        2 s + 2 r = 0  en  6 r - 4 s + 1 = 0
  
  <=>    r = 1/10  en  s = -1/10
  

  Het punt P(0.1; -0.1) heeft een constante macht ten opzichte van de variabele cirkel.
  Deze macht is 0.22 .

• 
  

  De rode astroide heeft parametervergelijkingen [ x = cos3(t) , y = sin3(t) ]. Bereken de vergelijking van de blauwe ingeschreven cirkel.

  
  

  Als t verandert beschrijft punt P(cos³(t), sin³(t)) de astroide.
  Voor t = 0 vinden we P(1,0)
  Voor t = pi/2 vinden we P(0,1)
  Voor t = pi/4 vinden we P(2^-3/2,2^-3/2)
  De straal van de cirkel is dus 1/2
  De vergelijking van de cirkel is x² + y² = 1/4

• 
  

  Bereken de vergelijkingen van de twee cirkels met straal 5 die raken aan de parabool y=x2 in punt T(1,1).

  
  

  In het punt T is de rico van de raaklijn aan de parabool gelijk aan 2. De rico van de normaal is dan -1/2. De vergelijking van de normaal in T is y = (-1/2) x + 3/2.
  We nemen op die normaal een variabel punt P( t, (-1/2) t + 3/2 ). t is een parameter.
  Het punt P is middelpunt van een gevraagde cirkel als en slechts als

   
       |PT|2 = 25
  <=>
      (t-1)2 + ((-1/2) t + 3/2 )2 = 25
  <=>
      t = 1 ± 2.sqrt(5)
  
  We krijgen  zo de middelpunten
  
    P1 ( 1 + 2 sqrt(5) , 1 - sqrt(5) )
    P2 ( 1 - 2 sqrt(5) , 1 + sqrt(5) )
  

  De gevraagde cirkels zijn de cirkels met P₁ en P₂ als middelpunt en met straal 5.

  Bemerk de waarde van het gebruik van een parameter.

• 
  

  De cirkel C1 heeft vergelijking x2 + y2 = 1 De cirkel C2 heeft vergelijking (x-5)2 + y2 = 9 Bereken de vergelijkingen van de uitwendige gemene raaklijnen.

  
  

   
         
  
  
  
     |OA| = 5 ; |AB| = 2 ; |OB| = sqrt(21)
  
     tan(t) = 2/sqrt(21) = rico OB = rico raaklijn
  
     De vergelijking van OB is
  
     y = ( 2/sqrt(21) ) x
  
  <=>
     2 x - sqrt(21) y = 0
  
     De vergelijking van de gemene raaklijn is van de vorm
  
     2 x - sqrt(21) y + k = 0 met k > 0
  
     We berekenen nu k zodat de afstand van O naar de raaklijn 1 is
  
          k
     ---------------- = 1   <=> k = 5
     sqrt( 4 + 21 )
  
     De bovenste raaklijn is 2 x - sqrt(21) y + 5 = 0
  

  Bereken nu zelf de tweede uitwendige raaklijn.

• 
  

  De cirkel C1 heeft middelpunt M1(1,1) en raakt aan de x-as en de y-as. Bereken de vergelijking van de cirkel C2 zodat de straal van C2 is groter dan 1 het middelpunt M2 van C2 ligt op de rechte y=x C2 raakt aan x-as C2 raakt aan de y-as C2 raakt aan C1 in punt T

  
  

  Maak een duidelijke schets van de stand van de cirkels.
  We noemen r de straal van de gevraagde cirkel.

   
     M2(r,r)  =>  |O M2| = r sqrt(2)       (*)
  
  
    |O M1| = sqrt(2)
    |M1 T| = 1
    |T M2| = r
    We tellen de drie afstanden op sqrt(2) + 1 + r = |O M2|   (**)
  
    Uit (*) en (**) volgt
  
         r sqrt(2) =  sqrt(2) + 1 + r
  <=>
         r (sqrt(2)-1) =  sqrt(2) + 1
  <=>
         r = 3 + 2 sqrt(2)
  
    en de vergelijking is
  
    (x-r)2 +(y-r)2 = r2
  

• 
  

  Bereken de vergelijking van de cirkel ingeschreven in de driehoek ABC zodat: AB is y = 0 AC is y = sqrt(3) x BC is y = - sqrt(3) x + 10

  
  

  Maak een nauwkeurige figuur.

  We zullen zien hoe een goede samenwerking van meetkunde en analyse de oplossing eenvoudig maakt.

  De driehoek is gelijkbenig met tophoek C en A = A(0,0) en B = B(10/sqrt(3) , 0).
  Het middelpunt van de ingeschreven cirkel ligt dus op de rechte x = 5/sqrt(3).
  De hoek A is 60 graden. De bissectrice door A maakt met de x-as een hoek van 30 graden. Die bissectrice heeft vergelijking y = (1/sqrt(3)) x.
  

  Het middelpunt M is dus M( 5/sqrt(3) , 5/3 ).
  De straal is dan 5/3.
  De vergelijking is (x - 5/sqrt(3))² + (y - 5/3)² = 25/9

• 
  

  Bereken de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC met A(1,1) B(2,5) en C(7,-1).

  
  

  Uit de theorie volgt onmiddellijk dat de vergelijking van de omgeschreven cirkel is

   
   | x2 + y2    x    y   1 |
   |     2      1    1   1 |
   |    29      2    5   1 |   = 0
   |    50      7   -1   1 |
  
  <=>
   13 x2 + 13 y2 - 123 x - 57 y +154 = 0
  

• 
  

  Een cirkel raakt aan de rechte d met vergelijking 2x+ y = 1 in het punt B(0,1). Bereken de vergelijking van die cirkel als je weet dat punt A(5,2) op de cirkel ligt.

  
  

  Maak een figur. De gevraagde cirkel moet voldoen aan twee voorwaarden:

  1. raken aan d in B
  2. door A gaan

  We beginnen met alle cirkels te bepalen die aan de eerste voorwaarde voldoen. Daartoe zoeken we een meetkundige eigenschap die toelaat om op eenvoudige manier middelpunt en straal te vinden.

  Het middelpunt M van de cirkel ligt op de loodlijn l door B op d. Die loodlijn heeft vergelijking y = (1/2)x + 1.
  We laten een punt M glijden over die loodlijn l. De coordinaten van M zijn dan van de vorm (2t, t+ 1). t is een parameter.
  

  De straal van de cirkel moet de afstand |M,B| zijn. |M,B|² = 4t² + t² = 5t²
  De vergelijking van de cirkel is van de vorm

   
     (x - 2 t)2  + (y - t - 1)2 = 5 t2       (*)
  

  De eerste voorwaarde is vervuld.

  We bepalen nu de waarde van t zodat de tweede voorwaarde vervuld is.

   
    A(5,2) ligt op de cirkel
  <=>
    (5 - 2 t)2  + (2 - t - 1)2 = 5 t2
  <=>
    ...
  <=>
    t = 13/11
  

  We brengen die waarde van t in (*) en we hebben de gevraagde vergelijking.

  Bemerk het nut van het gebruik van een parameter.