Asymptoten van een kegelsnede

• Asymptotische richtingen
  
• Berekenen van de asymptotische richtingen
  
  • Opmerking:
    
• Asymptoot van een kegelsnede
  
  • Opmerking :
    
• Het berekenen van de asymptoten
  
  • Algemene methode
    
  • Speciale gevallen:
    
  • Speciale methode om asymptoten te berekenen
    
• Stelling
  
• Kwadratische vergelijking van de asymptoten van een ellips of hyperbool.
  
• Vergelijking van een kegelsnede met gegeven asymptoten
  

Asymptotische richtingen

Berekenen van de asymptotische richtingen

 

        F(x,y,z) = 3 x2  - y2  + 2 xy + 4 x - 2 y + 7 = 0

        De asymptoot heeft rico m

<=>
        (1,m,0) ligt op de kegelsnede

<=>
        3 + 2 m - m2 = 0
<=>
        m = -1 or m = 3

Opmerking:

• Een parabool heeft 2 gelijke punten op oneindig. Men spreekt van DE asymptotische richting van de parabool.
• Als a' = 0, dan is (0,1,0) een asymptotische richting
• De asymptotische richtingen hangen niet af van a".

Asymptoot van een kegelsnede

Opmerking :

Het berekenen van de asymptoten

Algemene methode

• Bereken de punten op oneindig
• Bereken de raaklijnen in die punten

 
        F(x,y,z) = 3 x2  - y2  + 2 xy + 4 x - 2 y + 7 = 0

De raaklijn in (1,-1,0) is 3 x + y + 3 = 0

De raaklijn in (1, 3 ,0) is 3 x - 3 y - 1 = 0

Speciale gevallen:

• De rechte op oneindig is de asymptoot van elke niet ontaarde parabool.
• Van een ontaarde parabool is het punt op oneindig een dubbelpunt. daardoor is elke rechte door dat punt een asymptoot.
• De asymptoten van een ontaarde ellips of hyperbool vallen samen met de componenten.

Speciale methode om asymptoten te berekenen

 
        Fx' (x,y,z) + m Fy' (x,y,z) = 0
<=>
        ( a x + b" y + b' z ) + m ( b" x + a' y + b z ) = 0

 
        x2  - xy - 2 x - 5 = 0

heeft dezelfde asymptoten als
        x2  - xy - 2 x = 0
<=>
        x (x - y - 2) = 0

De asymptoten zijn  x = 0 en  x - y - 2 = 0

Stelling

Kwadratische vergelijking van de asymptoten van een ellips of hyperbool.

 
        x2  - x y - 2 y2  + 3 x + 3 y + 7 = 0

Hij heeft dezelfde asymptoten als

        x 2 - x y - 2 y2  + 3 x + 3 y + k = 0

Kies nu k zodanig dat de kegelsnede ontaard.

De voorwaarde is

        DELTA = 0
<=>
        | 2,  -1,  3  |
        | -1, -4,  3  | =  0
        | 3,  3,  2 k |
<=>
        -18 k = 0
<=>
        k = 0

Daardoor is de kwadratische vergelijking van de asymptoten

        x2  - x y - 2 y2  + 3 x + 3 y = 0

Vergelijking van een kegelsnede met gegeven asymptoten

 
Zij     u1 x + v1 y + w1 = 0   en
        u2 x + v2 y + w2 = 0

De ontaarde kegelsnede met deze asymptoten is

 
        (u1 x + v1 y + w1)(u2 x + v2 y + w2) = 0

 
        (u1 x + v1 y + w1)(u2 x + v2 y + w2) + h = 0