Algemene vergelijking van een kegelsnede - Eigenschappen

Functies van x,y en z

In dit hoofdstuk beschouwen we reele functies van R x R x R naar R.
Het beeld van (x,y,z) is dan een reeel getal.
Voorbeeld : f(x,y,z) = 3 x y - x z + 6 y -4

Homogene veeltermfunctie F(x,y,z) en vergelijking

Als F(x,y,z) een homogene veelterm is in x, y, en z dan dan is de corresponderende functie F(x,y,z) een homogene veeltermfunctie en F(x,y,z) = 0 is een homogene veeltermvergelijking.
Voorbeeld: 
 
veeltermvergelijking  x z + y z - x2 = 0

Grafiek van een homogene veeltermvergelijking

Als (xo,yo,zo) een oplossing is (verschillend van (0,0,0)) van een homogene veeltermvergelijking F(x,y,z) = 0, dan is (r.xo,r.yo,r.zo) ook een oplossing.

Met al deze evenredige oplossingen correspondeert juist 1 punt.

De verzameling van alle punten P(xo,yo,zo) zodat F(xo,yo,zo) = 0, noemen we de grafiek van de vergelijking F(x,y,z) = 0.

Zo'n grafiek heet een algebraische kromme.
F(x,y,z) = 0 heet de vergelijking van de algebraische kromme.
F(x,y,1) = 0 heet de cartesische vergelijking van de algebraische kromme.

Ontaarde algebraische kromme.

We zeggen dat een kromme c ontaard is als en slechts als F(x,y,z) = f(x,y,z) . g(x,y,z) met f(x,y,z) en g(x,y,z) homogene veeltermfuncties in x,y en z.
Als c1 de grafiek is van f(x,y,z)=0 en c2 de grafiek is van g(x,y,z)=0, dan is c is de unie van c1 en c2.
c1 en c2 heten de componenten van de ontaarde kromme c.

Voorbeeld 1: 

 
F(x,y,z) = (x2  + y2  - 9 z2) (x + y - z)
De grafiek van F = 0 is een ontaarde kromme. De componenten zijn 
 
een cirkel met vergelijking     (x2  + y2  - 9 z2) = 0  en
een rechte met vergelijking    (x + y - z) = 0
Voorbeeld 2: 
 
   2 x2 + 3 x y - 2 y2  - 3 x z - y z + z2

  = (x + 2 y - z) (2 x - y - z)

De kromme met vgl 2 x2 + 3 x y - 2 y2  - 3 x z - y z + z2 = 0
is ontaard in twee rechten met vgl
   x + 2 y - z = 0 en 2 x - y - z = 0

Kegelsnede

Een algebraische kromme met een vergelijking van de vorm 
 
a x2 + 2 b" x y + a' y2 + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2= 0
noemen we een kegelsnede

In de volgende pagina's schrijven we die vergelijking als F(x,y,z) = 0. De coefficienten zijn reeel. De cartesische vergelijking van de kegelsnede is : 

 
a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x + 2 b y + a" = 0

Affiene kegelsnede

Een kegelsnede is affien als en slechts als de oneigenlijke rechte geen componente is van de kegelsnede.

Partiele afgeleiden en eigenschappen

De drie partiele afgeleiden van F(x,y,z) zijn : 
 
Fx'(x,y,z)  = 2 a x + 2 b" y + 2 b' z = 2 ( a x + b" y + b' z )

Fy'(x,y,z)  = 2 b" x + 2 a' y + 2 b z = 2 ( b" x + a' y + b z )

Fz'(x,y,z)  = 2 b' x + 2 b y + 2 a" z = 2 ( b' x + b y + a" z )
De matrix gevormd door de halve coefficienten van x, y en z is 
 
        [ a     b"      b']
  C =   [ b"    a'      b ]
        [ b'    b       a"]
Het is de symmetrische kubische matrix van de kegelsnede. De determinant van de matrix wordt gewoonlijk genoteerd met een Griekse hoofdletter delta. Hier noteren we die determinant als 'DELTA'. 
 
        | a     b"      b'|
DELTA = | b"    a'      b |
        | b'    b       a"|
De matrix 
 
        [ a     b"]
        [ b"    a']
is de kwadratische matrix van de kegelsnede. De determinant van deze kwadratische matrix wordt gewoonlijk genoteerd met een Griekse delta. Hier noteren we die determinant als 'delta'. 
 
        | a     b"|
delta = | b"    a'| = a a' - b"2
De cofactoren van de elementen van de kubische matrix noteren we als 
 
        A, A', A", B, B', B"
In hetgeen volgt noteren we 
 
        [x]        [x1]        [x2]
    P = [y]   P1 = [y1]   P2 = [y2]
        [z]        [z1]        [z2]

Matrix notatie van de vergelijking van een kegelsnede

 

         T                [ a     b"      b'] [x]
        P C P = [x  y  z].[ b"    a'      b ].[y]
                          [ b'    b       a"] [z]


                          [ a x + b" y + b' z ]
              = [x  y  z].[ b" x + a' y + b z ]
                          [ b' x + b y + a" z ]


              = x(a x + b" y + b' z)+y(b" x + a' y + b z)+z(b' x + b y + a" z)

              = a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2

Dus de vergelijking van de kegelsnede is:

        PT C P = 0

Gevolgen

Het is gemakkelijk aan te tonen dat 
 
F(x1,y1,z1) = P1T C P1

F(kx1,ky1,kz1) =  (kP1)T C (kP1) = k2 (P1T C P1)

F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (P1 + P2)T  C (P1 + P2)


        [ a     b"      b']  [x1]         [Fx'(x1,y1,z1)]
C.P1 =  [ b"    a'      b ]. [y1] = (1/2).[Fy'(x1,y1,z1)]
        [ b'    b       a"]  [z1]         [Fz'(x1,y1,z1)]

Wisseleigenschap

Stelling :
 
Als F(x,y,z) = a x2  + 2 b" x y + a' y 2 + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2

dan

     x1.Fx'(x2,y2,z2) + y1.Fy'(x2,y2,z2) + z1.Fz'(x2,y2,z2)

  =  x2.Fx'(x1,y1,z1) + y2.Fy'(x1,y1,z1) + z2.Fz'(x1,y1,z1)

bewijs:

     x1.Fx'(x2,y2,z2) + y1.Fy'(x2,y2,z2) + z1.Fz'(x2,y2,z2)

                        [Fx'(x2,y2,z2)]
        =  [x1  y1  z1] [Fy'(x2,y2,z2)] = 2 P1T C P2
                        [Fz'(x2,y2,z2)]
en
     x2.Fx'(x1,y1,z1) + y2.Fy'(x1,y1,z1) + z2.Fz'(x1,y1,z1)

                        [Fx'(x1,y1,z1)]
        =  [x2  y2  z2] [Fy'(x1,y1,z1)] = 2 P2T C P1
                        [Fz'(x1,y1,z1)]

maar P1T C P2 is een getal en de getransponeerde van een getal is het getal zelf.

Dus
        P1T C P2 = (P1T C P2)T  = P2T C P1

Formule van Euler

 
Als F(x,y,z) = a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2

dan

x1.Fx'(x1,y1,z1) + y1.Fy'(x1,y1,z1) + z1.Fz'(x1,y1,z1) = 2 F(x1,y1,z1)

Bewijs:

        x1.Fx'(x1,y1,z1) + y1.Fy'(x1,y1,z1) + z1.Fz'(x1,y1,z1)


                        [Fx'(x1,y1,z1)]
        =  [x1  y1  z1] [Fy'(x1,y1,z1)]
                        [Fz'(x1,y1,z1)]

        =   [x1  y1  z1] .2 C P1 = 2 P1T C P1 = 2 F(x1,y1,z1)

Formule van Taylor

 
Als F(x,y,z) = a x  + 2 b" x y + a' y  + 2 b' x z + 2 b y z + a" z

dan

        F(kx1 + lx2, ky1 + ly2, kz1 + lz2)

        = k2 F(x1,y1,z1)

          + kl(x1.Fx'(x2,y2,z2) + y1.Fy'(x2,y2,z2) + z1.Fz'(x2,y2,z2))

          + l2  F(x2,y2,z2)
Bewijs:
        F(kx1 + lx2, ky1 + ly2, kz1 + lz2)

        = (k P1 + l P2)T C (k P1 + l P2)

        = (k P1T + l P2 ).(k C P1 + l C P2)

        = k2 P1T C P1 + kl(P1T C P2 + P2T C P1) + l2 P2T C P2

        = k2 F(x1,y1,z1)

          + kl(x1.Fx'(x2,y2,z2) + y1.Fy'(x2,y2,z2) + z1.Fz'(x2,y2,z2))

          + l2 F(x2,y2,z2)

Nieuwe vergelijking van een kegelsnede na een projectieve coordinatentransformatie.

 
We weten dat de transformatieformules zijn:
                                                              [x']
        P = M P' with M = de transformatie matrix  en   P' =  [y']
                                                              [z']
Dan

        F(x,y,z) = 0    (voorwaarde voor de oude coordinaten x y z)

<=>
        PT C P = 0

<=>                     (P = M P')
        P'T MT C M P' = 0     (voorwaarde voor de nieuwe coordinaten x',y',z')

<=>
        P'T C1 P' = 0  (Nieuwe vergelijking van de kegelsnede)

Dus het verband tussen de oude C en de nieuwe C1 is

          C1 =  MT C M

Nieuwe DELTA van een kegelsnede na een projectieve coordinatentransformatie

 
          C1 =  MT C M

We nemen in beide leden de determinant

        DELTA1 = determinant(MT ) DELTA determinant(M)
<=>
        DELTA1 =  DELTA . (determinant(M))2

Gevolg

Het teken van DELTA is invariant bij een projectieve coordinatentransformatie

Nieuwe delta van een kegelsnede na een affiene coordinaten transformatie

Men kan aantonen dat 
 
        delta1 =  delta . (determinant(M))2

Gevolg :

Het teken van delta is invariant voor een affiene coordinatentransformatie.

Eigenschap van een metrische coordinaten transformatie

Men kan aantonen dat a + a' invariant is voor een metrische coordinaten transformatie.

MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.