Coordinatentransformaties (Projectief; Affien; Metrisch)

Cartesische coordinatentransformatie

Een cartesisch coordinaten systeem is volledig bepaald door zijn oorsprong en de eenheidsvectoren langs x-as en y-as.

Neem een eerste systeem met oorsprong O en eenheidsvectoren OE1 en OE2.
Een punt P heeft coordinaten (x,y) ten opzichte van dat coordinaten systeem.

Neem een nieuw systeem met oorsprong O' en eenheidsvectoren O'E1' en O'E2'.

P heeft coordinaten (x',y') ten opzichte van dat nieuw coordinaten systeem. We zoeken de transformatieformules tussen (x,y) en (x',y').

 
        OP = OO' + O'P
<=>
        P = O' + x' O'E1' + y' O'E2'
<=>
        P = O' + x'(E1' - O') + y' (E2' - O')
<=>
        met coordinaten vinden we

        (x,y) = (xo,yo) + x'((a1,b1) - (xo,yo)) + y'((a2,b2) - (xo,yo))
<=>
        x = xo + (a1 - xo)x' + (a2 - xo)y'
        y = yo + (b1 - yo)x' + (b2 - yo)y'

        met matrix notatie wordt dit
<=>
        [x]   [(a1 - xo)  (a2 - xo)] [x']   [xo]
            =                             +
        [y]   [(b1 - yo)  (b2 - yo)] [y']   [yo]

Homogene coordinaten -- transformatie

P heeft coordinaten (x,y,z) in het oud coordinaten systeem coordinaten (x',y',z') in het nieuw coordinaten systeem. De homogene coordinaten kunnen zo gekozen worden dat z = z'.

Translatie van het coordinaten systeem

Dit is een speciaal geval van de vorige algemene transformatie
De transformatie matrix wordt 
 
        [1   0   xo]
    M = [0   1   yo]
        [0   0    1]

Rotatie van een orthonormaal coordinaten systeem.

Dit is een speciaal geval van de vorige algemene transformatie
xo = yo = 0 en we noemen t de rotatiehoek.
De transformatie matrix wordt 
 
        [cos(t)   -sin(t)   0]
    M = [sin(t)    cos(t)   0]
        [  0         0      1]

Vergelijking van een rechte na een coordinatentransformatie

In het eerste coordinaten systeem hebben we 
 
        Een rechte met vergelijking  u x + v y + w z = 0
We schrijven die vergelijking in matrix vorm 
 
                  [x]
        [u  v  w].[y] = 0
                  [z]
Dit is de voorwaarde waaraan de oude coordinaten van een veranderlijk punt van de rechte moeten voldoen.

Gebruik makend van vorige formules is dit equivalent met 

 
                      [x']
        [u  v  w]. M. [y'] = 0
                      [z']
Dit is de voorwaarde waaraan de nieuwe coordinaten van een veranderlijk punt van de rechte moeten voldoen.

We noemen nu [u v w]. M = [u' v' w']
De voorwaarde voor de nieuwe coordinaten van een veranderlijk punt van de rechte wordt 

 
                   [x']
        [u' v' w'].[y'] = 0
                   [z']
<=>

        u' x' + v' y' + w' z'= 0
Dit is de vergelijking van de lijn in het nieuw coordinaten systeem.
(u' v' w') zijn de lijncoordinaten van de rechte in het nieuw coordinaten systeem.
(u v w ) zijn de lijncoordinaten van de rechte in het oud coordinaten systeem.
De transformatie formules voor de lijncoordinaten zijn dan 
 
        [u  v  w]. M = [u'   v'   w']

Projectieve, Affiene, Metrische coordinatentransformaties

Zonder te denken aan coordinaatassen nemen we alle punten van het projectief vlak.
Uit de theorie omtrent homogene coordinaten weten we dat er een bijectie is tussen de punten en de veelvoudsklassen ||x,y,z||.
Neem nu een willekeurige lineaire permutatie van deze veelvoudsklassen. Merk op dat we hier de punten zelf niet permuteren. De punten blijven vast.

Het gevolg is dat alle punten nieuwe coordinaten krijgen.
Zo'n lineaire permutatie noemen we een projectieve coordinatentransformatie.

Men kan aantonen dat de transformatie formules geschreven kunnen worden in de vorm 

 
        [x]     [a  b  c] [x']
        [y] =   [d  e  f].[y']
        [z]     [g  h  i] [z']
De transformatie matrix M moet regulier zijn.
(x,y,z) zijn de oude coordinaten, en (x',y',z') de nieuwe.
Deze coordinatentransformaties zijn de meest algemene projectieve coordinatentransformaties.

Als we uit deze coordinatentransformaties juist deze uitkiezen met de eigenschap dat z=0 in z=0 getransformeerd wordt, dan zeggen we dat die uitgekozen coordinatentransformaties affien zijn.
Voor deze uitgekozen transformaties zullen de punten met homogene coordinaten (x,y,0) nieuwe coordinaten verkrijgen van de vorm (x',y',0). Deze punten heten de oneigenlijke punten van het affiene vlak.
De formules worden 

 
        [x]     [a  b  c] [x']
        [y] =   [d  e  f].[y']
        [z]     [0  0  i] [z']

Als we uit de verzameling affiene coordinatentransformaties, juist deze nemen welke ons toelaten een formule voor de afstand tussen twee punten op te stellen zodat die formule invariant is voor deze transformaties, dan zeggen we dat die gevonden transformaties metrische coordinatentransformaties zijn.
Men kan aantonen dat elke metrische coordinatentransformatie een samenstelling is van een eindig aantal translaties, rotaties en spiegelingen om een rechte door de oorsprong.

De metrische coordinatentransformaties vormen een deel van de affiene coordinatentransformaties.
De affiene coordinatentransformaties vormen een deel van de projectieve coordinatentransformaties.

Coordinatentransformaties versus Punttransformaties.

We hebben zojuist gezien dat als we het coordinaten systeem transformeren met een transformatie T, alle punten andere coordinaten verkrijgen. De punten blijven vast en het assenstelsel is veranderd. Zo'n transformatie is een coordinatentransformatie.

Maar je kan het ook anders bekijken.

We transformeren de punten van het vlak in andere punten met de transformatie T -1 en we houden het coordinaten systeem vast. Zo'n transformatie is een punttransformatie.

Voorbeeld:

Als we het assenstelsel draaien, om O, over een hoek t dan krijgt het vaste punt P(x,y,z) andere coordinaten P(x',y',z'). 

 
        [ x ]     [ x' ]
        [ y ] = M.[ y' ]
        [ z ]     [ z' ]

met
        [cos(t)   -sin(t)   0]
    M = [sin(t)    cos(t)   0]
        [  0         0      1]
Als we het punt P draaien, om O, over een hoek -t in een vast assenstelsel dan wordt P(x,y,z) getransformeerd in het andere punt Q(x',y',z') 
 
        [ x ]       [ x' ]
        [ y ] = M-1.[ y' ]
        [ z ]       [ z' ]
met
        [cos(t)   -sin(t)   0]
    M = [sin(t)    cos(t)   0]
        [  0         0      1]
We kunnen dit laatste ook als volgt schrijven 
 
        [ x' ]       [ x ]
        [ y' ] =  M  [ y ]
        [ z' ]       [ z ]
met
        [cos(t)   -sin(t)   0]
    M = [sin(t)    cos(t)   0]
        [  0         0      1]
Veralgemening:

De coordinatentransformatie X = M X' is gelijkwaardig met de punttransformatie X' = M X.

Voorbeeld van een punttransformatie

Over welke hoek moeten we punt P(2,3) om O wentelen zodat het beeldpunt Q op de rechte 2x+3y+1=0 komt?

We wentelen P over een hoek t om O. 

 
   [x']   [cos(t)   -sin(t)   0] [2]
   [y'] = [sin(t)    cos(t)   0] [3]
   [1 ]   [  0         0      1] [1]
<=>
    x' = 2 cos(t) - 3 sin(t)
    y' = 2 sin(t) + 3 cos(t)



   Dit gewentelde punt Q ligt  op 2 x + 3 y + 1 = 0
<=>
   4 cos(t) - 6 sin(t) + 6 sin(t) + 9 cos(t) +1 = 0
<=>
   cos(t) = -1/13
<=>
   cos(t) = cos(1.65)
<=>
   t = ± 1.65 + 2 k pi

Eigenschappen van punttransformaties

In het vlak kiezen we 1 vast coordinaten systeem.
Nu heeft elk punt van het vlak 1 stel homogene coordinaten (op een evenredigheidsfactor na bepaald).

Nu nemen we de formules 

 
        [x']      [x]
        [y'] = M .[y]   met M = een reguliere 3 x 3 matrix.
        [z']      [z]
Dit definieert een bijectie (permutatie) tussen de punten van het vlak.

Projectieve eigenschappen

De enig voorwaarde voor de matrix M is dat ze regulier is.
We hebben hier dan de meest algemene permutatie van de punten van het vlak. Over het algemeen zullen de oneigenlijke punten getransformeerd worden in eigenlijke punten. De verzameling van al deze permutaties vormen een groep voor de samenstelling. De verzameling van alle begrippen en eigenschappen welke invariant blijven voor al deze permutaties worden projectieve begrippen en eigenschappen genoemd. De studie van al deze eigenschappen en begrippen heet projectieve meetkunde. Voorbeelden van projectieve begrippen zijn collineariteit van punten en concurrentie van rechten.
Tegenvoorbeelden: evenwijdigheid, afstand vector

Affiene eigenschappen

Als M een reguliere matrix is van de vorm 
 
                [a  b  c]
                [d  e  f]
                [0  0  i]
De oneigenlijke punten worden getransformeerd in oneigenlijke punten.
De verzameling van al deze permutaties vormen een groep voor de samenstelling. De verzameling van alle begrippen en eigenschappen welke invariant blijven voor al deze permutaties noemen we affiene eigenschappen.
De studie van deze eigenschappen noemen we affiene meetkunde.
Affiene eigenschappen en begrippen zijn bijvoorbeeld collineariteit van punten, evenwijdigheid, eigenlijk of oneigenlijk zijn van punten, concurrentie van rechten, vectoren, midden.
Tegenvoorbeelden : afstand, norm, orthogonaliteit

Metrische eigenschappen

Als M een reguliere matrix is zodat die permutatie de afstand tussen twee eigenlijke punten bewaart, dan noemen we M een matrix van een metrische transformatie. De verzameling van al deze permutaties vormen een groep voor de samenstelling. De verzameling van alle begrippen en eigenschappen welke invariant blijven voor al deze permutaties noemen we metrische eigenschappen.
De studie van deze eigenschappen noemen we metrische of euclidische meetkunde.
Metrische eigenschappen en begrippen zijn bijvoorbeeld collineariteit van punten, evenwijdigheid, eigenlijk of oneigenlijk zijn van punten, concurrentie van rechten, vectoren, midden, afstand, norm, loodrechte stand.

De projectieve eigenschappen vormen een deel van de affiene eigenschappen.
De affiene eigenschappen vormen een deel van de metrische eigenschappen.

Metrische of euclidische meetkunde

Wanneer metrische eigenschappen in een probleem voorkomen, dan zullen we dit probleem oplossen gebruik makend van de euclidische meetkunde. We zeggen dat we het probleem oplossen in het metrisch vlak. De resultaten zijn onafhankelijk van het gekozen metrisch assenstelsel.

Met metrisch assenstelsel bedoelen we een orthonormale basis in het vlak.
In dit geval kunnen twee punten willekeurig gekozen worden (Bijvoorbeeld de oorsprong en het punt (1,0,1)). Door deze punten is het coordinatenstelsel volledig bepaald.

Door deze 2 punten oordeelkundig te kiezen, kan het probleem dikwijls op eenvoudige manier opgelost worden

Affiene Meetkunde

Wanneer enkel affiene eigenschappen in een probleem voorkomen, dan zullen we dit probleem oplossen gebruik makend van de affiene meetkunde. We zeggen dat we het probleem oplossen in het affien vlak. De resultaten zijn onafhankelijk van het gekozen affien assenstelsel.

Met een affien assenstelsel bedoelen we een willekeurige basis in het vlak.
In dit geval kunnen drie punten (0,0,1) (1,0,1) en (0,1,1) willekeurig maar niet collineair gekozen worden. Door deze punten is het coordinatenstelsel volledig bepaald.

Door deze 3 punten oordeelkundig te kiezen, kan het probleem dikwijls op eenvoudige manier opgelost worden

Projectieve Meetkunde

Wanneer enkel projectieve eigenschappen in een probleem voorkomen, dan zullen we dit probleem oplossen gebruik makend van de projectieve meetkunde. We zeggen dat we het probleem oplossen in het projectief vlak. De resultaten zijn onafhankelijk van het gekozen projectief coordinatensysteem.

Met een projectief coordinatensysteem bedoelen we dat we vier punten kunnen kiezen. Eerst drie niet collineaire punten: (0,0,1) (0,1,0) and (1,0,0).
Deze punten zijn de hoekpunten van de gronddriehoek. Verder kiezen we nog een zogenaamd eenheidspunt (1,1,1). Dit punt mag willekeurig gekozen worden maar niet op de zijlijnen van de gronddriehoek. Door de keuze van deze vier punten is het coordinatensysteem volledig bepaald.

Door deze 4 punten oordeelkundig te kiezen, kan het probleem dikwijls op eenvoudige manier opgelost worden

Omdat al dit vorige heel eigenaardig kan overkomen zonder voorbeelden, zullen we nu zeven voorbeelden behandelen. Vier voorbeelden omtrent het projectief vlak en drie voorbeelden over het affien vlak.

Projectieve problemen - voorbeelden

Over concurrente rechten

Gegeven :
Een driehoek ABC gevormd door 3 rechten a, b and c.
De rechte l1 gaat door C is is verschillend van a en b.
De rechte l2 gaat door A is is verschillend van b en c.
De rechte l3 gaat door B is is verschillend van c en a.

We zoeken de voorwaarde opdat l1, l2 en l3 concurrent zouden zijn.

We merken op dat er in dit vraagstuk enkel projectieve begrippen voorkomen.

Met de bedoeling een eenvoudige oplossing te vinden kiezen we
A als punt (1,0,0) ; B als punt (0,1,0) ; C als punt (0,0,1)
De rechte a heeft dan vergelijking x=0 ; b heeft vergelijking y=0 en c heeft z=0.
Een variabele rechte l1 door C heeft vergelijking x + k y = 0.
Een variabele rechte l2 door A heeft vergelijking y + l z = 0.
Een variabele rechte l" door B heeft vergelijking z + m x = 0.
k,l en m zijn niet homogene parameters.
Welnu, l1,l2 en l3 zijn concurrent als en slechts als 

 
        | 1  k  0 |
        | 0  1  l | = 0
        | m  0  1 |
<=>
        1 + k l m = 0
<=>
        k l m = -1
Dit resultaat is onafhankelijk van de keuze van het coordinatensysteem.

Deze eigenschap staat bekend als de Stelling van CEVA voor concurrente rechten.

Over collineaire punten

Gegeven:
Een driehoek ABC.
Punt L1 op rechte AB, punt L2 op rechte BC, punt L3 op rechte CA.
L1, L2 and L3 vallen niet samen met een hoekpunt van de driehoek.

We zoeken de voorwaarde opdat L1, L2 and L3 collineair zouden zijn.

We merken op dat er in dit vraagstuk enkel projectieve begrippen voorkomen.

Met de bedoeling een eenvoudige oplossing te vinden kiezen we
A als punt (1,0,0) ; B als punt (0,1,0) ; C als punt (0,0,1)
Dan is, L1(1,k,0) L2(0,1,l) L3(m,0,1)
Welnu, 

 
        L1, L2 en L3 zijn collineair
<=>
        | 1  k  0 |
        | 0  1  l | = 0
        | m  0  1 |
<=>
        1 + k l m = 0
<=>
        k l m = -1
Dit resultaat is onafhankelijk van de keuze van het coordinatensysteem.

Deze eigenschap staat bekend als de Stelling van Menelaus voor collineaire punten.

Stelling van Pappus-Pascal

Gegeven:
Twee rechten d1 en d2
A1, A3 en A5 zijn 3 verschillende punten op d1.
A2, A4 en A6 zijn 3 verschillende punten op d2.
Het snijpunt van A1A2 en A4A5 is P.
Het snijpunt van A2A3 en A5A6 is Q.
Het snijpunt van A3A4 en A6A1 is R.
Te bewijzen:
P, Q en R zijn collineair.

Bewijs:
Noem S het snijpunt van d1 en d2.
We kiezen:

 
        S(1,0,0) ; A4(0,1,0) ; A1(0,0,1)
Dan
        d1: y = 0  en d2: z = 0

        A5(1,0,l)  A3(1,0,l')  A2(1,m,0)  A6(1,m',0)

        A1A2: m x - y = 0
        A4A5: l x - z = 0

                =>      P(1,m,l)

        A1A6: m' x - y = 0
        A3A4: l' x - z = 0

                =>      R(1,m',l')

        A5A6: -l m' x + l y + m' z = 0
        A2A3: -l'm  x + l'y + m  z = 0

                =>      Q(lm-l'm' , lmm' - l'mm' , ll'm - ll'm')

P,Q,R zijn collineair want

        |  1            m               l       |
        |  1            m'              l'      |  = 0
        |lm-l'm'    lmm' - l'mm'   ll'm - ll'm' |
De rechte PQR wordt de Pascal-lijn genoemd.

Stelling van Desargues

Als de rechten door de drie paren overeenkomstige hoekpunten van twee driehoeken concurrent zijn, dan zijn de snijpunten van de drie paren overeenkomstige zijden collineair.

Bewijs:

We kiezen gronddriehoek en eenheidspunt: A(1,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1) ; S(1,1,1)
Verder nog de punten :
A' op rechte SA => A'(1+l,1,1)
B' op rechte BS => B'(1,1+m,1)
C' op rechte SC => C'(1,1,1+n)

K is het snijpunt van BC en B'C'.
Rechte BC heeft vergelijking x = 0. Dus, het eerste coordinaatgetal van K is 0.
Daar K op B'C' ligt, zijn de coordinaten van K een lineaire combinatie van (1,1+m,1) en (1,1,1+n). Dus de coordinaten van K zijn (0,m,-n).

Op analoge wijze vinden we L(l,0,-n) en M(l,-m,0).
K,L,M zijn collineair want 

 
        | 0    m   -n |
        | l    0   -n | = 0
        | l   -m    0 |
We zien dat het probleem eenvoudig is opgelost dank zij de goede keuze van het coordinaten systeem.

Affiene problemen - voorbeelden

Stelling van Menelaus in het affiene vlak

Gegeven:
Driehoek ABC. L1 ligt op AB, L2 op BC, L3 op CA.
L1, L2 and L3 vallen niet samen met een hoekpunt van de driehoek.

We bewijzen de volgende eigenschap omtrent deelverhoudingen :
(A B L1).(B C L2).(C A L3) = 1 <=> L1, L2, L3 zijn collineair

Bewijs:
In dit vraagstuk komen enkel affiene eigenschappen voor, We kiezen voor de drie punten eenvoudige coordinaten.
A(0,0,1) ; B(1,0,1) ; C(0,1,1)
We noteren de deelverhoudingen als : (A B L1) = k ; (B C L2) = l ; (C A L3) = m
Dan zijn de homogene coordinaten van L1, L2 en L3 respectievelijk
L1(-k,0,1-k) ; L2(1,-l,1-l) ; L3(0,1,1-m) 

 
        L1, L2, L3 are collineair
<=>
        | -k   0   1-k |
        |  1   -l  1-l | = 0
        |  0   1   1-m |
<=>
        ...
<=>
        k l m = 1

Stelling of Ceva in het affiene vlak

Gegeven:
Drie niet concurrente rechten a, b en c.
Rechte l1 bevat het snijpunt C van a en b en snijdt c in punt L1
Rechte l2 bevat het snijpunt A van b en c en snijdt a in punt L2
Rechte l3 bevat het snijpunt A van c en a en snijdt b in punt L3
De rechten l1, l2, l3 vallen niet samen met a, b of c.

We bewijzen de volgende eigenschap omtrent deelverhoudingen :
(A B L1).(B C L2).(C A L3) = - 1 <=> l1, l2, l3 zijn concurrent.

Bewijs:
In dit vraagstuk komen enkel affiene eigenschappen voor, We kiezen
A(0,0,1) ; B(1,0,1) ; C(0,1,1)
We noteren de deelverhoudingen als: (A B L1) = k ; (B C L2) = l ; (C A L3) = m
De homogene coordinaten van de punten L1, L2 and L3 zijn dan
L1(-k,0,1-k) ; L2(1,-l,1-l) ; L3(0,1,1-m)
Voor de homogene lijncoordinaten van de rechten l1, l2 and l3 vinden we na berekening 

 
        l1 (1-k , -k, k )
        l2 ( l  , 1 , 0 )
        l3 (-1  ,m-1, 1 )

        l1, l2, l3 are concurrent
<=>
        | 1-k    -k    k |
        |  l      1    0 | = 0
        | -1    m-1    1 |
<=>
        ...
<=>
        klm = -1

Concurrente rechten in een driehoek

In een driehoek ABC, tekenen we de rechte B'C' evenwijdig met BC met B' op AB en C' op AC.
Bewijs dat de zwaartelijn uit A, BC' en B'C concurrent zijn.

Bewijs:
Noem het snijpunt van die zwaartelijn en de rechte BC het punt A'.
Daar B'C' evenwijdig is met BC hebben we 

 
        B'A   C'A
        --- = ---
        B'B   C'C

<=>
        B'A   C'C
        --- . --- = 1
        B'B   C'A
<=>
        (A B B').(C A C') = 1
Daar AA' de zwaartelijn is hebben we ook 
 
        A'B
        --- = -1
        A'C
<=>

        (B C A') = -1
Uit beide resultaten volgt dat 
 
        (A B B').(B C A').(C A C') = -1
en met Ceva weten we dat hieruit volgt : AA', BC' en CB' zijn concurrent.

MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.