Derdegraadsvergelijkingen

Algemene derdegraadsvergelijking

De algemene vorm van een derdegraadsvergelijking is 
 
        A x3  + B x2  + C x + D = 0
De coefficienten A, B, C, D zijn reele of complexe getallen met A niet 0. Als we delen door A wordt de vergelijking van de vorm 
 
         x3  + b x2  + c x + d = 0

We laten de kwadratische term verdwijnen

We willen de vergelijking vereenvoudigen door midden van de substitutie 
 
        x = y + r
De derdegraadsvergelijking wordt dan : 
 
        (y + r)3  + b (y + r)2  + c (y + r) + d = 0
<=>
        y3  + (3 r + b) y2  + (3 r2  + 2 r b + c) y + r3  + r2  b + r c + d = 0
Nu kiezen we r zo dat de kwadratische term verdwijnt 
 
        kies  r = -b/3

Dus, met de  substitutie

                b
        x = y - -
                3
wordt de startvergelijking

         x3  + b x2  + c x + d = 0

van de vorm

        y3  + e y + f = 0

Vieta's substitutie

Om de laatste vergelijking verder te vereenvoudigen gebruiken we de Vieta substitutie 
 
                  1
        y = z + s -
                  z
De constante s is voorlopig nog een niet gedefinieerde constante.
De vergelijking 
 
        y3  + e y + f = 0
wordt

             s
        (z + -)3  + e (z + (s/z)) + f = 0
             z

We werken alles uit en vermenigvuldigen beide leden met z3. Er komt

        z6  + (3 s + e) z4  + f z3  + s (3 s + e) z2  + s3  = 0
Nu kiezen we s = -e/3.
De vergelijking wordt 
 
        z6  + f z3  - e3/27 = 0

met     z3  = u

        u2  + f u -e3/27 = 0
Dit is een gemakkelijk op te lossen kwadratische vergelijking.

Samengevat

De algemene vorm van een derdegraadsvergelijking is 
 
        A x3  + B x2  + C x + D = 0
De coefficienten A, B, C, D zijn reele of complexe getallen met A niet 0. Als we delen door A wordt de vergelijking van de vorm 
 
         x3  + b x2  + c x + d = 0

Door de substitutie

                b
        x = y - -
                3
komt er

        y3  + e y + f = 0

Met de  Vieta substitutie

                  e
        y = z -  ---
                 3 z

wordt de vergelijking

        z6  + f z3 - e3/27 = 0

met     z3  = u

        u2 + f u - e3/27 = 0
Dit is een gemakkelijk op te lossen kwadratische vergelijking.

Voorbeeld

Los op 
 
        45 x3  + 24 x2 - 7 x - 2 = 0

<=>
         3   8   2   7      2
        x  + -- x  - -- x - -- = 0
             15      45     45

Door de substitutie

                 8
        x = y - ---
                 45
komt er

         3   169      506
        y  - --- y - ----- = 0
             675     91125

we gaan over op decimale vormen


<=>     y3 - 0.25037037037 y - 5.55281207133e-3 = 0

Met de  Vieta substitutie

                 0.0834567901235
        y =  z + ---------------
                        z
krijgen we

        z6  - 5.55281207133e-3 z3  + 5.81279532442e-4 = 0

met     z3  = u

        u2  - 5.55281207133e-3 u  + 5.81279532442e-4 = 0

De oplossingen van deze kwadratische vergelijking zijn

u1 =   2.77640603567e-3 + 0.0239493444997 i  en

u2 =   2.77640603567e-3 - 0.0239493444997 i
Met elke waarde van u corresponderend een waarde van z.
Om deze waarden te berekenen brengen we de u-waarden in de goniometrische vorm 

 
u1 = 0.024109739369 (cos(1.45538324457) + i sin(1.45538324457))

u2 = 0.024109739369 (cos(1.45538324457) - i sin(1.45538324457))

De zes waarden van z in goniometrische vorm zijn

z1 = 0.288888888889 (cos(0.48512774819) + i sin (0.48512774819) )
z2 = 0.288888888889 (cos(2.57952285058) + i sin (2.57952285058) )
z3 = 0.288888888889 (cos(-1.6092673542) + i sin (-1.6092673542) )
z4 = 0.288888888889 (cos(0.48512774819) - i sin (0.48512774819) )
z5 = 0.288888888889 (cos(2.57952285058) - i sin (2.57952285058) )
z6 = 0.288888888889 (cos(-1.6092673542) - i sin (-1.6092673542) )

met
                 0.0834567901235
        y =  z + ---------------
                        z

We vinden tenslotte 3 y-waarden

        y1 = 0.511111111112
        y2 = - 0.488888888888
        y3 = - 0.022222222221

en nu vinden we met de volgende substitutie tenslotte de x-waarden

                 8
        x = y - ---
                 45


        x1 = 0.333333333334

        x2 = -0.666666666666

        x3 = -0.199999999999

De exacte wortels zijn

        x1 = 1/3

        x2 = -2/3

        x3 = 1/5

Iteratie methode

Als je, door middel van een grafiek of met een andere methode, een benadering hebt van de wortels dan kunnen de wortels gevonden worden met een iteratiemethode.

Gebruik deze link voor de theorie, optimalisatie procedure en voorbeelden van deze iteratiemethode.

Voorbeeld 1

Steunend op die geoptimaliseerde procedure van de iteratie methode lossen we hier als voorbeeld de vergelijking
x3 + 2 x2 + 3 x - 4 = 0 op. We volgen letterlijk de procedure.

  1. Door de grafiek van het linker lid te plotten zien we dat 0.77 een benadering is van het enig nulpunt van de vergelijking.
  2. We schrijven x = x + r( x3 + 2 x2 + 3 x - 4 )
  3. We kiezen een r-waarde zodat 1 + r( 3.(0.77)2 + 4.(0.77) +3) = 0. ro = -0.13 is een goede benadering.
  4. We passen iteratie toe op x = x - 0.13 ( x3 + 2 x2 + 3 x - 4 ) startend met x= 0.77
    en we vinden na slechts 5 stappen een zeer goed resultaat. 
     
0.77619671
0.776041122953
0.776045557563
0.776045431542
0.776045435125

Voorbeeld 2

We lossen de volgende vergelijking op.
x3 - 2.7 x2 + 4.5 x - 6 = 0
  1. Door de grafiek van het linker lid te plotten zien we dat 2 een ruwe benadering is van het enig nulpunt van de vergelijking.
  2. We schrijven x = x + r( x3 - 2.7 x2 + 4.5 x - 6 )
    Steunend op die geoptimaliseerde procedure van de iteratie methode kiezen we een r zo dat
    1 + r(3*4 - 5.4*2 + 4.5) = 0. ro = -0.175 is een goede benadering.
  3. We passen iteratie toe op x = x - 0.175 ( x3 - 2.7 x2 + 4.5 x - 6 )
    We starten met x = 2 en we vinden na slechts 5 stappen een zeer goed resultaat. 
     
1.96500000
1.96421257
1.96417892
1.96417747
1.96417741


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.