De hyperbool

• Definitie en vergelijking
  
• Orthogonale hyperbool als een speciale hyperbool
  
• Parameter vergelijkingen van de hyperbool
  
• Meetkundige eigenschap van een punt van de hyperbool
  
• Raaklijn in een punt P van de hyperbool
  
• Eigenschappen
  
• Uitgewerkte oefeningen
  

Definitie en vergelijking

 
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2

 
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2

<=>
               b2  (x2  - a2 )
        y2  = -----------------
                    a2
<=>
                 _________                   _________
           b    |  2    2               b   |  2    2
       y = -   \| x  - a     of   y = - -  \| x  - a
           a                            a

Als we de asymptoten a en a' berekenen dan vinden we

 

    b                  b
y = -  x  en    y = -  -  x
    a                  a

De snijpunten van de hyperbool met de x-as zijn A'(-a,0) en A(a,0). Dit zijn de twee toppen op de x-as.
Het segment [A',A] noemen we de grote as van de hyperbool.

We definieren c² = a² + b² en de punten F(c,0) en F'(-c,0) heten de brandpunten. De segmenten [P,F'] en [P,F] zijn de brandpuntsvoerstralen van een punt P van de hyperbool.

Orthogonale hyperbool als een speciale hyperbool

 
                x2  - y2  = a2

Parameter vergelijkingen van de hyperbool

 
        x = a sec(t)            (1)
        y = b tan(t)            (2)

Het stelsel (1) en (2) is equivalent met

 
              a
        x = ------
            cos(t)

            b sin(t)
        y = -------
             cos(t)

 
                 a
        cos(t) = -
                 x

                 a y
        sin(t) = ---
                 b x

 

        sin2 (t) + cos2 (t) = 1
<=>
         a 2    a y 2
        (-)  + (---)  = 1
         x      b x
<=>

        a2  b2  + a2  y2  = b2  x2
<=>
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2

 
        P(a sec(t) , b tan(t))

Meetkundige eigenschap van een punt van de hyperbool

 
  |PF|2 = (x-c)2 + y2

               a                 b2 sin2t
         = ( -----  - c )2  + -----------
             cos t               cos2t

              1
         = --------- ( a2 - 2 a c cos t + c2 cos2 t + (c2-a2) sin2t )
            cos2 t

             1
        = --------- ( a2 cos2t  - 2 a c cos t + c2)
           cos2 t

             1
        = --------- ( a cos t - c)2
           cos2 t


   |PF|2 = (x+c)2 + y2

          = ....

                1
          = --------- ( a cos t + c)2
            cos2 t

    Daar c > a hebben we

    |PF| = (1/cos(t)).(c - a cos(t))

    |PF'| = (1/cos(t)).(c + a cos(t))

    |PF'| - |PF| = 2a

De hyperbool is de meetkundige plaats van de punten P waarvoor het verschil van de afstanden tot twee vaste punten F en F' constant is.

Raaklijn in een punt P van de hyperbool

 
         xo x   yo y
         ---- - ---- = 1
          a2     b2

Eigenschappen

• De snijpunten van de rechthoek met de y-as zijn (0,b) en (0,-b).
• De snijpunten van de omgeschreven cirkel van de rechthoek met de x-as zijn de brandpunten

• Het spiegelbeeld van F t.o.v. een veranderlijke raaklijn ligt op de cirkel met middelpunt F' en straal 2a.
• De loodrechte projectie van F op een veranderlijke raaklijn vormt de cirkel met middelpunt O en straal a

Uitgewerkte oefeningen

• 
  

  Een hyperbool H heeft toppen P en P' en punt D ligt op H. Toon aan dat het product van de richtingscoefficienten van DP en DP' constant is.

  
  

  Neem D(a sec(t) , b tan(t)) op H.
  De richtingscoefficient van DP is

   
            b tan(t)
          -------------
          a(sec(t)- 1)
  

  De richtingscoefficient van DP' is

   
            b tan(t)
          -------------
          a(sec(t)+ 1)
  

  Het product van de richtingscoefficienten is

   
            b2tan2(t)         b2
          ---------------  = -----
          a2(sec2(t)- 1)      a2
  

• 
  

  Bereken de rechten met richtingscoefficient 1 en rakend aan de hyperbool 9 x2 - 25 y2 = 225 Bereken ook de vergelijking van de raakkoorde.

  
  

  opl: y = x + 4 ; y = x - 4 ; 9x - 25 y = 0

• 
  

  Een punt P(xo,yo) ligt op de hyperbool met brandpunten F en F'. Toon aan dat |D,F| = | a - (c/a) xo |.

  
  

  Neem x_o = a sec(t) and y_o = b tan(t) .Dan ligt P(x_o,y_o) op de hyperbool H.

   
          |D,F|2=  (c - a sec(t))2 + b2 tan2(t)
  
                =  (c - a sec(t))2 + (c2 - a2) (sec2(t) - 1)
  
                = ...
  
                = a2 - 2 a c sec(t) + c2 sec2(t)
  
                = (a - c sec(t))2
  
                        c xo
                =  (a - ----)2
                         a
  

• 
  

  Bereken de vergelijkingen van de raaklijnen aan de hyperbool met een gegeven rico m.

  
  

  De vergelijking van een rechte met rico m is y = m x + q. Het volstaat q te bepalen zodat de rechte en de hyperbool twee samenvallende snijpunten hebben.

  De snijpunten zijn de oplossingen van het stelsel

   
          y = m x + q
  
          x2   y2
          -- - --- = 1
          a2   b2
  

  We substitueren y uit de eerste vergelijking in de tweede

   
      x2       (m x + q)2
     ----   - -------------- = 1
      a2         b2
  

  We brengen die vergelijking in de standaardvorm van een vierkantsvergelijking. Er komt na vereenvoudiging

   
    (b2 - m2 a2) x2 - 2 a2 q m x - b2 a2 - q2 a2 = 0
  

  De rechte m x + q= 0 is raaklijn als en slechts als de discriminant van de vierkantsvergelijking nul is. Die voorwaarde is na uitwerking en vereenvoudiging

   
        a2 b2 q2 + a2 b4 - a4 b2 m2 = 0
  <=>
        q2  = a2 m2 - b2
  

  De raaklijnen aan de hyperbool met een gegeven rico m zijn

   
        y = mx + sqrt( a2 m2 - b2 )
  en
        y = mx - sqrt( a2 m2 - b2 )
  
  
  

• 
  

  Punt P ligt op de hyperbool x2/a2 - y2/b2 = 1. Men neemt op een asymptoot s punt Q met dezelfde abscis als P. De rechte l is de loodlijn door Q op s en de rechte n is de normaal in P. Toon aan dat l en s snijden op de x-as.

  
  

  Neem P(a/cos(t) , b tan(t)) en Q(a/cos(t) , b/cos(t)).
  Rechte l heeft vergelijking

   
  y - b/cos(t) = (-a/b) (x - a/cos(t))       (*)
  

  De raaklijn in P is x (1/(a cos(t)) - y (tan(t)/b) = 1.
  De rico van die raaklijn is na vereenvoudiging b/(a sin(t)).
  De rico van de normaal (-a/b)sin(t).
  De vergelijking van de normaal n in P is dan

   
     y - b.tan(t) = (-a/b)sin(t) (x - a/cos(t)).
  <=>
     y - b sin(t)/cos(t) = (-a/b) sin(t) (x - a/cos(t))
  <=>
     y/sin(t)- b/cos(t) = (-a/b) (x - a/cos(t))    (**)
  

  Vergelijk nu de vergelijking (*) met (**).
  Dan zie je zonder enige berekening dat we voor y=0 dezelfde x-waarde verkrijgen.

• 
  

  Bepaal de waarden van m zodat de hoek tussen de asymptoten van de hyperbool x2/(m+1)2 - y2/m2 = 1 gelijk is aan 60 graden.

  
  

  a = m+1 en b = m.

  • De hoek tussen de asymptoot y = bx/a en de x-as is 30 graden.

    Dan is de rico b/a = 1/sqrt(3) <=> m/(m+1) = 1/sqrt(3) <=> ... <=> m = sqrt(3)/(3-sqrt(3))

  • De hoek tussen de asymptoot y = bx/a en de x-as is 60 graden.

    Dan is de rico b/a = sqrt(3) <=> m/(m+1) = sqrt(3) <=> ... <=> m = sqrt(3)/(1-sqrt(3))

• 
  

  Punt P ligt op de orthogonale hyperbool x2 - y2 = a2. Punt P' is de loodrechte projectie van P op de x-as. Toon aan dat |PP'|2 gelijk is aan de macht van P' ten opzichte van de cirkel x2+y2=a2.

  
  

  P(a sec(t) ,a tan(t)) en P'(a sec(t) , 0)
  |PP'| = a² tan²(t)
  De macht van P' ten opzichte van de cirkel x²+y²=a² is gelijk aan :

   
      (a sec(t) - 0)2 + (0-0)2 -a2   (zie theorie cirkel)
  
      = a2 sec2(t) - a2 = a2( sec2(t) - 1) = a2  tan2(t)
  
  

• 
  

  Toon aan dat de richtingscoefficienten m van de raaklijnen uit P(xo,yo) aan de hyperbool b2 x2 - a2 y2 = a2 b2 oplossingen zijn van de vergelijking (xo2 - a2) m2 - 2 xo yo m + yo2 + b2 = 0

  
  
• 
  

  Een raaklijn in punt P van een hyperbool snijdt de asymptoten in Q en Q'. Toon aan dat P het midden is van het segment [Q,Q'].