De Parabool

Definitie en vergelijking

Neem een rechte d en een punt F niet op d.
De meetkundige plaats van alle punten P zodat |P,d| = |P,F| is een parabool.
Om een eenvoudige vergelijking te verkrijgen, kiezen we de x-as en y-as als in de figuur.
We geven F coordinaten (p/2,0).
Dan hebben we d met vergelijking x = - p/2.
 
        P(x,y) is op de parabool

                <=>

            |P,d| = |P,F|

                <=>

            |P,d|2 = |P,F|2

                <=>


       (x + p/2)2  = (x - p/2)2  + y2

                <=>

                ...

                <=>

             y2  = 2 p x
Het punt F heet het brandpunt en de rechte d heet de richtlijn.
De symmetrieas van een parabool, noemt men ook de as van de parabool. De as van een parabool is de loodlijn door het brandpunt op de richtlijn. Het snijpunt van die as en de parabool heet de top van de parabool.

Andere gedaanten van de vergelijking van een parabool

  1. We wisselen de rol van x-as en y-as om.

    We krijgen dan een parabool met vergelijking 

     
    x2 = 2 p y
<=>
           1
    y = ----- x2
         2 p

  Nu is het brandpunt (0, p/2) en de richtlijn y = -p/2.

  stel a = 1/ (2 p)

  Nu is de vergelijking

    y = a x2
    Het brandpunt is ( 0, 1/(4a) ) en de richtlijn is dan y = - 1/(4a)

    Daar de vergelijking y = ax2 is, vinden we met behulp van de afgeleide de rico van de raaklijn. In punt P(xo, a xo2) van de parabool is de rico van de raaklijn 2 a xo.

  2. Een translatie van de parabool met vergelijking y = ax2 geeft ons een parabool met een vergelijking van de vorm
    y = ax2 + bx + c

  3. De vergelijking y2 = 2p x van een parabool heeft zijn eenvoud te danken aan de speciale ligging van richtlijn en brandpunt ten opzichte van het assenstelsel.

    De parabool werd echter gedefinieerd als een verzameling punten die aan een bepaalde meetkundige voorwaarde voldoen.
    We stellen nu de vergelijking op van een parabool met brandpunt F(a,b) en richtlijn d met vergelijking ux+vy+w=0.
    Punt P(x,y) ligt op de parabool als en slechts als |P,d| = |P,F|.
    Daar we de afstand van P naar de rechte ux+vy+w=0 nodig hebben, brengen we die vergelijking eerst en de normaalvorm.
    De normaalvergelijking van d kan geschreven worden in de vorm l x + m y + n = 0 met l2 + m2 =1. 
     
        P(x,y) is op de parabool

                <=>

            |P,F| = |P,d|

                <=>

            |P,F|2 = |P,d|2

                <=>

    (x - a)2 + (y - b)2 = (l x + m y + n)2               (1)

    Voorbeeld:

    We berekenen de vergelijking van de parabool met brandpunt F(1,2) en richtlijn d: 3x+4y-2=0. De richtlijn d heeft normaalvergelijking (3/5) x + (4/5)y - 2/5 = 0.
    De vergelijking van de parabool is 

     
(x-1)2 + (y-2)2 = ((3/5) x + (4/5)y - 2/5)2             (2)
    Het spreekt vanzelf dat men deze vorm kan uitwerken, vereenvoudigen en rangschikken. Er komt: 
     
16 x2 - 24 xy + 9 y2 - 38 x - 84 y + 121 = 0              (3)
    Dit is dan de vergelijking van die parabool. Het vervelende aan die vorm is dat je onmogelijk kan zien wat het brandpunt en richtlijn van de parabool is. Brandpunt en richtlijn opnieuw uit deze vorm berekenen vergt wel wat rekenwerk maar is haalbaar. Daartoe brengen we (1) in een andere gedaante 
     
    (x - a)2 + (y - b)2 = (l x + m y + n)2
<=>
    x2 - 2ax + a2 + y2 -2by + b2 = l2 x2 + m2 y2 + n2  + 2 l.m xy + 2 l.n x + 2m.n y
<=>
    (1-l2)x2 -  2 lm xy + (1-m2) y2 = 2x(a + l.n) + 2y(b + m.n) -a2 - b2 + n2
<=>
      (m x - l y)2 = 2x(a + l.n) + 2y(b + m.n) -a2 - b2 + n2    (4)
    We tonen nu aan de hand van dit voorbeeld aan, hoe we (3) opnieuw in de gedaante (2) kunnen brengen. 
     
     16 x2 - 24 xy + 9 y2 - 38 x - 84 y + 121 = 0
<=>
     (4 x - 3 y)2 =  38 x + 84 y - 121

                Daar l2 + m2 moet gelijk zijn aan 1 delen we alles door 25
<=>
      ( (4/5) x - (3/5) y)2 =  38/25 x + 84/25  y - 121/25

We vergelijken dit resultaat met de vorm (4) en we stellen m = (4/5) en l = (3/5)

     a + l.n = 19/25                      (5)
     b + m.n = 42/25                      (6)
     n2 - a2 - b2 = - 121/25             (7)

Daar we m en l kennen kunnen a , b uit (5) en (6) in (7) brengen en n hieruit berekenen.
Men vindt : a = 1 ; b = 2 ; n = -2/5.
De vergelijking (3) is  de parabool met brandpunt F(1,2) en
richtlijn (3/5)x + (4/5)y -2/5 = 0 of ook  3x+4y-2=0.
  4. Brandpunt in O(0,0)
    x2 +y2 = (l x + m y + n)2

  5. Brandpunt in O(0,0) en richtlijn loodrecht op x-as
    x2 +y2 = (x-c)2
    Als we c beschouwen als parameter, dan hebben we hier een verzameling parabolen met een vast brandpunt en een vaste as. Zo'n verzameling parabolen heet een confocale schaar parabolen.

  6. Brandpunt in O(0,0) en richtlijn loodrecht op y-as
    x2 +y2 = (y-c)2
    Opnieuw hebben we hier een schaar confocale parabolen. De parameter is c.

Gelijkvormige parabolen

We tonen aan dat alle parabolen gelijkvormig zijn met elkaar.

We vertrekken van een vast assenstel, willekeurige parabool P en een vaste parabool P" met vergelijking y = x2.

Er is altijd een gepaste rotatie en translatie te vinden zodat P getransformeerd wordt in een parabool P' met vergelijking y = ax2 met a > 0. Dus P is gelijkvormig met P'.
We weten ook dat een homothetie een figuur transformeert in een gelijkvormige figuur. We kiezen het centrum van de homothetie h in de oorsprong (0,0) en als factor kiezen we a. De coordinaten-transformatieformules zijn 

 
           h
   (x,y) ----> (ax, ay)

   punt D' ligt op parabool P'

<=>       D'(x , a x2)

   de homothetie h zet dit punt om in punt D"

         D"( a (x) , a (a x2)) = D"( (a x) , (a x)2 )

<=> punt D" ligt op de parabool P" met vergelijking y = x2

Dus de willekeurige parabool P is gelijkvormig met de vaste parabool P".
Dus alle parabolen zijn gelijkvormig met de dezelfde parabool.
Dit betekent ook dat alle parabolen gelijkvormig zijn.

Congruente parabolen

De vorm van de parabool is bepaald door een meetkundige eigenschap en hangt helemaal niet af van het gekozen coordinatenstelsel.

Een parabool is volledig bepaald door een gegeven brandpunt en richtlijn.

Beschouw nu twee parabolen : 

 
  P1 met brandpunt F1 en richtlijn d1
en
  P2 met brandpunt F2 en richtlijn d2



    Twee parabolen P1 en P2 zijn congruent

<=>

   Er bestaat een verplaatsing v zodat v(F1) = F2 en v(d1) = d2

<=>

   De onderlinge ligging van F1 ten opzichte van d1
          is dezelfde als
   De onderlinge ligging van F2 ten opzichte van d2

<=>

   De afstand van F1 tot d1 = de afstand van F2 tot d2

<=>

   De afstand van F1 tot de topraaklijn van P1
             is gelijk aan
   De afstand van F2 tot de topraaklijn van P2
Voorbeeld:
De parabool P1 met vergelijking y = 0.25 x2 is congruent met de parabool P2 met richtlijn d2 : x - y = 0.
Het brandpunt van P2 ligt op de rechte b met vergelijking x + y - 1 = 0.
Bereken alle mogelijke vergelijkingen van P2.

Het brandpunt van P1 is (0,1) en de richtlijn is y+1=0. Het brandpunt ligt op een afstand 2 van de richtlijn.

De parabool P2 zal congruent zijn met P1 als en slechts als bij P2 ook geldt dat het brandpunt F2 op een afstand 2 ligt van de richtlijn x - y = 0.

We laten punt F2 glijden over de rechte b door middel van een parameter t. F2 = F2(t , 1-t). 

 
       | F2, d2| = 2
<=>
        | 2 t -1|
       ------------- = 2
          sqrt(2)
<=>
        (2t - 1)2 = 8
<=>
      t = 0.5 ± sqrt(2)
Er zijn dus twee mogelijke plaatsen voor het brandpunt F2 en dus ook twee parabolen die aan de gevraagde voorwaarde voldoen.
  1. t = 0.5 + sqrt(2) 
     
    F2 = F2(0.5 + sqrt(2) , 0.5 -sqrt(2) )

    De vergelijking van de parabool P2 is nu

    (x - 0.5 -sqrt(2))2  + (y - 0.5 + sqrt(2))2 = (x-y)2/2

<=>

    x2 + 2 x y + y2 - 7.66 x + 3.66 y + 9 = 0
  2. t = 0.5 - sqrt(2)

    Werk dit zelf uit als oefening

Parametervergelijkingen van de parabool

Neem in een vlak twee rechten a en b met resp. vergelijkingen 
 
        x = 2 p t2             (1)

        y = 2 p t               (2)
Het reeel getal t is de parameter.
We weten, uit de theorie van 'Eliminatie van parameters', dat het snijpunt van de twee geassocieerde rechten een kromme beschrijft. Om de vergelijking van die kromme te bekomen, elimineren we de parameter t uit de twee vergelijkingen. Dit betekent dat we de voorwaarde opstellen opdat (1) en (2) een oplossing heeft voor t.
Uit (2) volgt t = y / (2p).
Dus, deze t-waarde is een oplossing van (1) als en slechts als 
 

       x = 2 p (y/(2p))2       <=>  y2  = 2 p x
De twee geassocieerde rechten beschrijven een kromme en die kromme is de parabool.
We zeggen dat (1) en (2) parametervergelijkingen zijn van de parabool. Het punt 
 
D( 2 p t2  , 2 p t)
ligt op de parabool voor elke waarde van t en met elk punt van de parabool correspondeert een t-waarde.

Als t verandert doorloopt D de parabool. Met andere woorden D( 2 p t2 , 2 p t) is een veranderlijk punt van de parabool.

Raaklijn en Normaal in een punt D van een parabool

Neem de parabool 
 
             y2  = 2p x
Om de richtingscoefficient van de raaklijn te verkrijgen leiden we de vergelijking van de parabool impliciet af. 
 
        2 y y' = 2 p
<=>
        y' = p/y
Neem D(xo,yo) als een vast punt van de parabool.
De richtingscoefficient van de raaklijn in punt D is 
 
         p
        ---
         y0
De vergelijking van de raaklijn is 
 
               p
      y - y0 = --  (x - x0)
               y0
<=>
     y0 y - y02  = p x - p x0

                Daar    y02  = 2p x0

<=>
     y0 y - 2 p x0 = p x - p x0
<=>
        y y0 = p (x + x0)
De laatste vergelijking is de raaklijn in punt D(x0,y0) van een parabool.
De rico van de raaklijn is p/y0 .
Het is gemakkelijk aan te tonen dat het snijpunt met de x-as gelijk is aan S(-x0,0).
Hierop steunend kan men gemakkelijk de raaklijn in een punt D construeren. (zie figuur)

De normaal in D is de loodlijn door D op de raaklijn.

Krachtige eigenschappen

Uit het vorige kunnen we krachtige eigenschappen afleiden.

Raaklijn met een gegeven richtingscoefficient

Neem een rechte t met een gegeven richtingscoefficient m. De vergelijking is y = m x + q.
De snijpunten met de parabool y2= 2 p x zijn de oplossingen van de stelsel 
 
        y2  = 2 p x

        y = m x + q

Substitutie geeft
        (m x + q)2  = 2 p x
<=>
        m2  x2  + 2 (m q - p) x + q2  = 0
De rechte t is een raaklijn als en slechts als de wortels van de laatste vergelijking gelijk zijn. De discriminant moet 0 zijn. 
 
 (m q - p)2  - 4 m2  q = 0
<=>
        4 p (p - 2 m q) = 0
<=>
             p
        q = ---
            2 m
De raaklijn met een gegeven richtingscoefficient m is

                    p
        y =  m x + ---
                   2 m

Raaklijnen uit een gegeven punt

Neem een vast punt P(x0,y0) .
We berekenen de raaklijnen uit P aan de parabool y2 = 2 p x.
Een rechte t met variabele richtingscoefficient en welke door P gaat is 
 
        y - y0 = m(x - x0)
De snijpunten met de parabool zijn de oplossingen van de stelsel 
 
        y2  = 2 p x

        y - y0 = m(x - x0)
We substitueren x uit de eerste vergelijking in de tweede. 
 
                   y2
        y - y0 = m(--- - x0)
                   2 p
<=>
        - m y2  + 2 p y - 2 p y0 + 2 p m x0 = 0
De rechte t is een raaklijn als en slechts als de wortels van de laatste vergelijking (in y) gelijk zijn. De voorwaarde is : discriminant = 0. 
 
        4 p2  + 4 m (2 p m x0 - 2 p y0) = 0
<=>
        2 x0 m2  - 2 y0 m + p = 0
De wortels van deze vergelijking zijn de richtingscoefficienten van de twee raaklijnen. 
 

                  y0 + sqrt(y02 - 2 p x0)
           m1 = ------------------------------
                          2 x0

                  y0 - sqrt(y02 - 2 p x0)
           m2 =  ----------------------------
                          2 x0
De vergelijkingen van de raaklijnen zijn 
 
                     y2
        y - y0= m1(----- - x0)       ;
                     p

                      y2
         y - y0= m2(----- - x0)
                      p
De twee rechten zijn orthogonaal als en slechts als m1 . m2 = -1 
 
         p
<=>     ---- = -1
        2 x0


               -p
<=>     x0 = ----
               2
De raaklijnen uit een punt P aan de parabool staan loodrecht op elkaar als en slechts als P op de richtlijn ligt.

De richtlijn is de meetkundige plaats van de punten van waaruit de raaklijnen aan de parabool orthogonaal zijn.

Evolute van een parabool

Zie Evolute van een parabool

Uitgewerkte oefeningen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.