Polen en poollijnen

Poollijn van een punt A ten opzichte van een kegelsnede

  1. Punt A is een enkelvoudig punt.
    De poollijn van A(x1,y1,z1) ten opzichte van een kegelsnede met vergelijking F(x,y,z) = 0 is de rechte 
     
        x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z) = 0
<=>
        x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1) = 0

met matrix notatie:
                        [Fx' (x1,y1,z1)]
<=>        [x   y   z ] [Fy' (x1,y1,z1)] = 0
                        [Fz' (x1,y1,z1)]

<=>
                PT C P1 = 0

<=>
                P1T C P = 0
  2. Punt A is een dubbelpunt.
    Elke rechte is poollijn van A.

Gevolgen voor poollijnen van enkelvoudige punten

Poollijn en harmonisch toegevoegde punten.

Punt A(x1,y1,z1) ligt niet op de kegelsnede F(x,y,z) = 0.
Stelling:
De poollijn van punt A is de verzameling van alle punten B, zodat A en B harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de snijpunten van de kegelsnede met een variabele rechte door A.

Bewijs:
A(x1,y1,z1) ligt niet op de kegelsnede F(x,y,z) = 0.
Zij B(x,y,z) een willekeurig punt.
Een variabel punt P van AB heeft coordinaten 

 
        (x + h x1, y + h y1, z + h z1)

        Punt  P ligt op de kegelsnede
<=>
        F(x + h x1, y + h y1, z + h z1) = 0
<=>
        F(x,y,z)

        + h (x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1))

        + h2  F(x1,y1,z1)  = 0
Dit is een kwadratische vergelijking in h. De wortels h1 en h2 corresponderen met de snijpunten van de kegelsnede met AB.

De punten A en B zijn harmonisch toegevoegde punten ten opzichte van de snijpunten P1 en P2 van de kegelsnede met AB 

 
<=>
        (P1,P2,A,B) = -1
<=>
        (A,B,P1,P2) = -1
<=>
        h1 = - h2
<=>
        h1 + h2 = 0
<=>
        x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1) = 0
<=>
        B is element van de vermelde verzameling
We zien dat de vergelijking van de poollijn en de vergelijking van de vermelde verzameling dezelfde zijn.

Als een punt op zijn eigen poollijn ligt, dan ligt het op de kegelsnede.

Bewijs:
Als het punt een dubbelpunt is dan is het vanzelfsprekend.

Als het punt A(x1,y1,z1) een enkelvoudig punt is dan: 

 
        A(x1,y1,z1) ligt op zijn poollijn
<=>
        x1.Fx' (x1,y1,z1) + y1.Fy' (x1,y1,z1) + z1.Fz' (x1,y1,z1) = 0
<=>
        2.F(x,y,z) = 0
<=>
        punt  A(x1,y1,z1) ligt  op de kegelsnede

Poollijn en ontaarde kegelsnede

De poollijn van een punt A, verschillend van een dubbelpunt, bevat het dubbelpunt.

Bewijs:
Neem een punt A(x1,y1,z1) verschillend van een dubbelpunt De poollijn van A is x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z) = 0 Noem D(xo,yo,zo) een dubbelpunt.
We onderzoeken of D op de poollijn ligt. 

 
        x1.Fx' (xo,yo,zo) + y1.Fy' (xo,yo,zo) + z1.Fz' (xo,yo,zo)

      = x1 . 0 + y1 . 0 + z1 . 0

      = 0
Dus, D ligt op de poollijn.

Als A ligt op de poollijn van B, dan ligt B op de poollijn van A

Bewijs:
Als A of B een dubbelpunt is dan is het vanzelfsprekend.
Veronderstel nu verder dat A en B geen dubbelpunt zijn.
 
        A(x1,y1,z1) ligt op de poollijn van  B(x2,y2,z2)
<=>
        x1.Fx' (x2,y2,z2) + y1.Fy' (x2,y2,z2) + z1.Fz' (x2,y2,z2) = 0
<=>
        x2.Fx' (x1,y1,z1) + y2.Fy' (x1,y1,z1) + z2.Fz' (x1,y1,z1) = 0
<=>
        B(x2,y2,z2) ligt op de poollijn van A(x1,y1,z1)

Pool van een rechte ten opzichte van een kegelsnede

 
        Punt  A heet een pool van een rechte a ten opzichte van een kegelsnede
<=>
        Rechte a is EEN poollijn van punt A.

Elke rechte heeft juist 1 pool ten opzichte van een niet ontaarde kegelsnede

Bewijs:
We gebruiken de matrix notatie. 
 
De kegelsnede heeft vergelijking        PT C P = 0

De rechte  a heeft vergelijking
        u x + v y + w z = 0
<=>
                  [x]
        [u  v  w] [y] = 0
                  [z]

<=>
        U.P = 0         met U = [u  v  w]



         [x1]
Zij P1 = [y1]  de coordinaten van een mogelijke pool van de rechte a.
         [z1]

De poollijn is dan      P1T C P = 0

Maar de poollijn is ook de rechte  U.P = 0

Daardoor hebben we:     k U =   P1T C

<=>                     P1T = k U C-1

Uit dat laatste resultaat zien we dat er juist 1 pool is van de rechte a.
De laatste formule geeft een middel om de pool te berekenen.

Berekenen van de pool

 
Gegeven:        y2  - 2 x = 0 en de rechte x + y + 1 = 0
We tonen drie methodes om de pool van die rechte te berekenen.

Toegevoegde punten

 
        De punten A en B heten toegevoegd ten opzichte van een kegelsnede
<=>
        A ligt op EEN poollijn van punt B
<=>
        B  ligt op EEN poollijn van punt A
Opmerking :
Een dubbelpunt is toegevoegd aan elk punt.

Criterium voor toegevoegde punten

  1. Punten A en B zijn geen dubbelpunten 
     
        A(x1,y1,z1) en B(x2,y2,z2) zijn  toegevoegde punten
<=>
        A ligt op een poollijn van punt B
<=>
        x1.Fx' (x2,y2,z2) + y1.Fy' (x2,y2,z2) + z1.Fz' (x2,y2,z2) = 0
  2. A is een dubbelpunt 
     
        A(x1,y1,z1) en  B(x2,y2,z2)  zijn  toegevoegde punten
<=>
        B is een willekeurig punt
<=>
        x2.0 + y2.0 + z2.0 = 0
<=>
        x2.Fx' (x1,y1,z1) + y2.Fy' (x1,y1,z1) + z2.Fz' (x1,y1,z1) = 0
<=>
        x1.Fx' (x2,y2,z2) + y1.Fy' (x2,y2,z2) + z1.Fz' (x2,y2,z2) = 0
  3. B is een dubbelpunt analoog als in het vorige geval
Besluit : 
 
        A(x1,y1,z1) en  B(x2,y2,z2)  zijn  toegevoegde punten
<=>
        x2.Fx' (x1,y1,z1) + y2.Fy' (x1,y1,z1) + z2.Fz' (x1,y1,z1) = 0
<=>
        x1.Fx' (x2,y2,z2) + y1.Fy' (x2,y2,z2) + z1.Fz' (x2,y2,z2) = 0

Toegevoegde rechten

 
        De rechten a en b heten toegevoegd ten opzichte van een kegelsnede
<=>
        a bevat ELKE pool van rechte b EN
        b bevat ELKE pool van de rechte a
Opm :
Als de kegelsnede niet ontaard is kunnen we schrijven 
 
        De rechten a en b heten toegevoegd ten opzichte van een kegelsnede
<=>
        a bevat de pool van  b
<=>
        b bevat de pool van  a

Pooltransformatie ten opzichte van een vaste niet ontaarde kegelsnede

Zij V de verzameling van alle punten en alle rechten.
Nu nemen we de transformatie van V welke met elk punt zijn poollijn en met elke rechte zijn pool laat overeenkomen.

Deze transformatie heet de pooltransformatie ten opzichte van de vaste niet ontaarde kegelsnede.

Opm :
Elke geordende vierstraal a,b,c,d wordt getransformeerd in een geordend puntenviertal A,B,C,D en omgekeerd.

Een pooltransformatie bewaart de dubbelverhouding.

Neem een geordend puntenviertal A,B,C,D.
 
        A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2)

        C(x1 + h x2, y1 + h y2, z1 + h z2)

        D(x1 + h'x2, y1 + h'y2, z1 + h'z2)
Dan is (A,B,C,D) = h/h'.
De pooltransformatie zet dit viertal om in de rechten 
 
        a( Fx' (x1,y1,z1) , Fy' (x1,y1,z1) , Fz' (x1,y1,z1) )
        b( Fx' (x2,y2,z2) , Fy' (x2,y2,z2) , Fz' (x2,y2,z2) )
        c( Fx' (x1,y1,z1) + h Fx' (x2,y2,z2) , ..., ...)
        d( Fx' (x1,y1,z1) + h' Fx' (x2,y2,z2) , ..., ...)
De dubbelverhouding van (a,b,c,d) is h/h' .

Pooldriehoek

Een driehoek heet een pooldriehoek van een kegelsnede als en slechts als elke zijlijn een poollijn is van het overstaande hoekpunt.

We zeggen dat de pooldriehoek toegevoegd is ten opzichte van de kegelsnede of ook dat de kegelsnede toegevoegd is aan de driehoek.

Vergelijking van een kegelsnede toegevoegd aan een gegeven driehoek

Stelling 1

We noemen de vergelijkingen van de zijlijnen van een gegeven driehoek ABC kortweg : A=0 ; B=0 and C=0.
Elke niet ontaarde kegelsnede toegevoegd aan die driehoek heeft dan een vergelijking 
 
        k A2  + l B2  + m C2  = 0
k,l en m zijn homogene parameters (niet alle 0).

Bewijs:

 
        B = 0 is de poollijn van het overstaande hoekpunt B
=>
        (B,C,S1,S2) = -1
=>
        (AB,AC,AS1,AS2) = -1
=>
        Er bestaat een waarde van  h zodat
        rechte AS1 de vergelijking  B + h C = 0 heeft en
        rechte  AS2 de vergelijking B - h C = 0 heeft
Neem nu de kegelsnedenbundel met basisexemplaren De vier basispunten zijn S1, S1, S2, S2. De gegeven niet ontaarde kegelsnede is een exemplaar van de bundel en heeft daarom een vergelijking van de vorm 
 
        (B + h C).(B - h C) + k A.A = 0
<=>
        B2  - h2  C2  + k A2  = 0

Stelling 2

Elke niet ontaarde kegelsnede met met vergelijking 
 
        k A2  + l B2  + m C2  = 0
is toegevoegd aan de driehoek met A=0 ; B=0 and C=0 als vergelijkingen van de zijden.

Bewijs:
Daar de kegelsnede niet ontaard is, is de parameter l niet 0.
Als we de vergelijking delen door l, heeft de kegelsnede de vergelijking 

 
        B2 + (m/l) C2  + (k/l) A2 = 0

                We noteren  m/l als - h2
<=>
        B2 - h2 C2  + (k/l) A2 = 0
<=>
        (B - h C) (B + h C) + (k/l) A2 = 0
Dit is een element van de kegelsnedenbundel met basis-exemplaren: Dit betekent dat A=0 de raakkoorde is het snijpunt A van de rechten (B + h C) = 0 en (B - h C) = 0.
Dus, A=0 is de poollijn van het punt A.
Analoog kan je aantonen dat de zelfde eigenschap geldt voor B = 0 en C = 0.

Stelling 3

De vergelijkingen van de zijden van een driehoek ABC noteren we kort als A=0 ; B=0 and C=0.
Elke ontaarde kegelsnede toegevoegd aan deze driehoek heeft een vergelijking 
 
        k A2  + l B2  + m C2  = 0
k,l en m zijn homogene parameters (niet alle 0).

Bewijs:.. Zij de kegelsnede ontaard in de rechten d1 en d2.

  1. Eerste geval: d1 is verschillend van d2

     
        C = 0 is poollijn van punt  C.

=>      (B,C,S1,S2) = -1

=>      (AB,AC,AS1,AS2) = -1

=>      Er bestaat een waarde van  h zodat
        rechte AS1 de vergelijking  B + h C = 0 heeft en
        rechte  AS2 de vergelijking B - h C = 0 heeft

=>      De ontaarde kegelsnede heeft vergelijking

        B2  - h2  C2  = 0
  2. Tweede geval: d1 valt samen met d2
    De vergelijking van de kegelsnede is 
     
        A2 = 0  or  B2 = 0  or C2 = 0

Stelling 4

Elke ontaarde kegelsnede met vergelijking 
 
        k A2  + l B2  + m C2  = 0
is toegevoegd aan de driehoek met A=0 ; B=0 en C=0 als vergelijkingen van de zijden.

Bewijs:

  1. Eerste geval: 2 parameters zijn 0 ; neem l = m = 0
    De vergelijking van de kegelsnede is A.A = 0 en de driehoek is toegevoegd aan de kegelsnede.
  2. Tweede geval : 1 parameter is 0 ; neem k = 0
    De vergelijking van de kegelsnede kan geschreven worden als 
     
        B2  - h2  C2  = 0  <=> (B - h C) (B + h C) = 0
    De kegelsnede is dan toegevoegd aan de driehoek.
  3. Derde geval: geen enkele parameter is nul. Men kan aantonen dat dit geval zich niet kan voordoen.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.