Raaklijnen

Snijpunten

Stelling:
Als een rechte geen componente is van een kegelsnede, dan snijdt die rechte de kegelsnede in twee punten. (projectieve eigenschap)
Bewijs:
De kegelsnede is F(x,y,z) = 0. De rechte d definieren we door middel van twee punten A(x1,y1,z1) en B(x2,y2,z2); Kies B niet op de kegelsnede.
Een veranderlijk punt van de rechte d is D( x1 + h x2, y1+ h y2, z1 + h z2). 
 
        D ligt op de kegelsnede
<=>
        F(x1 + h x2, y1+ h y2, z1 + h z2) = 0
<=>
        F(x1,y1,z1)

           + h (x1.Fx' (x2,y2,z2) + y1.Fy' (x2,y2,z2) + z1.Fz' (x2,y2,z2))

           + h2 F(x2,y2,z2) = 0
Daar F(x2,y2,z2) niet nul is, hebben we hier een vierkantsvergelijking in h. We noemen de oplossingen h1 en h2. Met deze h-waarden corresponderen twee snijpunten met de kegelsnede.
Deze punten kunnen al of niet reeel zijn en al of niet samenvallen.

Opm :

Raaklijn in een punt van een niet ontaarde kegelsnede

Een raaklijn in een punt D van een niet ontaarde kegelsnede is een rechte door D, zodat de snijpunten samenvallen

Vergelijking van een raaklijn in een punt D van een niet ontaarde kegelsnede

Neem punt D(x1,y1,y1) van een kegelsnede.
We zoeken alle punten P(x,y,z) zo dat DP raakt aan de kegelsnede.
Een veranderlijk punt van de rechte DP heeft coordinaten (x1 + h x, y1 + h y, z1 + h z). De snijpunten van DP en de kegelsnede liggen vast door de waarden van h zodat 
 
        F(x1 + h x, y1+ h y, z1 + h z) = 0
<=>
                F(x1,y1,z1)

           + h (x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z))

           + h2 F(x,y,z) = 0
<=>
        h (x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z))

           + h2F(x,y,z) = 0

Dus

        De rechte DP is een raaklijn

<=>
        De vorige vergelijking heeft twee gelijke oplossingen voor h
        Daar 1 van die oplossingen 0 is, moet de ander ook 0 zijn.

<=>
        x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z) = 0
De laatste voorwaarde is een nodig en voldoende voorwaarde voor de coordinaten van P opdat de rechte DP raaklijn zou zijn. Het is dus de vergelijking van de raaklijn in D

Opm:
Steunend op de wisseleigenschap is de vergelijking van de raaklijn ook 

 
        x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1) = 0

Voorbeeld :

We berekenen de raaklijn in D(1,1,1) van de kegelsnede 
 
        3 x2 + 4 xy + 2 xz - 9 z2 = 0


        Fx' (1,1,1) = 12 ; Fy' (1,1,1) = 4 ; Fz' (1,1,1) = -16

De raaklijn  in D(1,1,1) is

        12 x + 4 y -16 = 0 <=> 3 x + y - 4 = 0

Raaklijn in punt D van een ontaarde kegelsnede

  1. Het punt D is a enkelvoudig punt. De raaklijn in een enkelvoudig punt van een ontaarde kegelsnede is de componente door dit punt D(x1,y1,z1).

    Vergelijking :
    De rechte 

     
        x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1) = 0
    is dezelfde rechte als 
     
        x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z) = 0
    Uit de eerste uitdrukking volgt dat de rechte het punt D(x1,y1,z1) bevat, want 
     
x1.Fx' (x1,y1,z1) + y1.Fy' (x1,y1,z1) + z1.Fz' (x1,y1,z1) = 2 F(x1,y1,z1) =0
    Uit de tweede uitdrukking volgt dat de rechte door het dubbelpunt gaat.
    Dus de vergelijking van de raaklijn in een enkelvoudig punt D van een ontaarde kegelsnede is 
     
        x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1) = 0
of
        x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z) = 0
  2. Het punt D is een dubbelpunt

    Bij definitie stellen we dat elke rechte door een dubbelpunt een raaklijn is aan de ontaarde kegelsnede.

Raaklijnen uit een punt aan een kegelsnede F(x,y,z) = 0.

Zij D(x1,y1,z1) een punt niet op de kegelsnede 
 
         P(xo,yo,zo) is het raakpunt
<=>
        P(xo,yo,zo) ligt op de kegelsnede
        D(x1,y1,z1) ligt op de raaklijn door P
<=>
        F(xo,yo,zo) = 0
        xo.Fx' (x1,y1,z1) + yo.Fy' (x1,y1,z1) + zo.Fz' (x1,y1,z1)  = 0
<=>
        (xo,yo,zo) is een oplossing van het stelsel
        / F(x,y,z) = 0
        \ x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1)  = 0
Uit dit stelsel zien we dat de raakpunten de snijpunten zijn van de kegelsnede en de rechte met vergelijking 
 
         x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1)  = 0
Daarom noemen we die rechte de raakkoorde van punt D.
Deze vergelijking is gelijkwaardig met de vergelijking 
 
        x1.Fx' (x,y,z) + y1.Fy' (x,y,z) + z1.Fz' (x,y,z) = 0
en dit is dezelfde formule als voor de vergelijking van de raaklijn in een punt van een kegelsnede.

We kunnen de raaklijnen uit een punt D aan de kegelsnede berekenen in drie stappen.

Voorbeeld

We berekenen de raaklijnen uit punt D(1,0,1) aan de kegelsnede 
 
        x2  + 2 x y - y2  + 4 x z - 6 z2  = 0
De raakkoorde heeft vergelijking 3 x + y - 4 z = 0
De snijpunten P1 en P2 van die raakkoorde met de kegelsnede zijn de oplossingen van het stelsel 
 
        / x2  + 2 x y - y2  + 4 x z - 6 z2  = 0
        \ 3 x + y - 4 z = 0
De oplossingen zijn P1(1,1,1) en P2(11,-5,7).
De raaklijn DP1 is x - z = 0
De raaklijn DP2 is 5 x + 4 y - 5 z = 0

Kwadratische vergelijking van de raaklijnen uit een punt

Zij P(x1,y1,z1) een punt niet gelegen op een (niet ontaarde) kegelsnede.
Q(x,y,z) is een punt verschillend van P.
Een veranderlijk punt D van de rechte PQ is 
 
        (x + h x1, y+ h y1, z + h z1)

        Punt D ligt op de kegelsnede  F(x,y,z) = 0
<=>
        F(x + h x1, y+ h y1, z + h z1) = 0
<=>
        F(x,y,z)

           + h (x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1))
           + h2 F(x1,y1,z1) = 0

Dit is een vierkantsvergelijking in  h.

Welnu,
        PQ is een raaklijn
<=>

        de vierkantsvergelijking in h heeft 2 gelijke wortels
<=>
        (x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1))2
                - 4 F(x,y,z).F(x1,y1,z1) = 0
<=>
        punt Q ligt op de raaklijn door  P(x1,y1,z1)
De kwadratische vergelijking van de raaklijnen uit P is: 
 
        (x.Fx' (x1,y1,z1) + y.Fy' (x1,y1,z1) + z.Fz' (x1,y1,z1))2
                - 4 F(x,y,z).F(x1,y1,z1) = 0

Voorbeeld:

We berekenen de raaklijnen uit P(1,0,1) aan de kegelsnede 
 
        x2 + 2 x y - y2  + 4 x z - 6 z2  = 0

Fx' (x1,y1,z1) = 2 x1 + 2 y1 + 4 z1 = 6
Fy' (x1,y1,z1) = 2 x1 - 2 y1 = 2
Fz' (x1,y1,z1) = 4 x - 12 z = -8
F(x1,y1,z1) = -1

De kwadratische vergelijking van de raaklijnen uit P is:

        (6 x + 2 y - 8 z)2  + 4 (x2  + 2 x y - y2  + 4 x z - 6 z2 ) = 0
<=>
        40 x2  - 32 y z + 32 x y - 80 x z + 40 z2 = 0
<=>
        5 x2  - 4 y z + 4 x y - 10 x z + 5 z2 =  0
<=>
        (5 x + 4 y - 5 z) (x - z) = 0

Speciaal rechtenpaar door de oorsprong

F(x,y,z) = 0 is de vergelijking van een kegelsnede en ux + vy + wz = 0 is de vergelijking van een rechte d.
De snijpunten van d en de kegelsnede zijn de oplossingen van het stelsel 
 
        / ux + vy + wz = 0
        \ F(x,y,z) = 0
Dit stelsel is gelijkwaardig met 
 
        /     -(u x + v y)
        | z = ------------
        |          w
        |
        |          -(u x + v y)
        | F(x, y , ------------ ) = 0
        |             w
        \
De laatste vergelijking uit dit stelsel is een homogene kwadratische vergelijking in x en y. Het is dus de vergelijking van een paar rechten door de oorsprong.
Deze rechten gaan ook door de snijpunten van d met de kegelsnede.
Besluit:
Als we z elimineren tussen een rechte d en de vergelijking van een kegelsnede, dan krijgen we de kwadratische vergelijking van de rechten door O en door de snijpunten van d met de kegelsnede.

MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.