Verzamel

De verzamelingenleer is een van de fundamenten van de wiskunde. Als die op zijn grondvesten gaat daveren is er dus wat aan de hand. Dat gebeurt wanneer er paradoxale eigenschappen of essentieel tegenstrijdige uitspraken over opduiken. Die blijken ook hun tegenhangers te hebben in het domein van de logica. Sommigen zoals B. Russell hebben daarvan hele verzamelingen (!) aangelegd. Hier doen we enkele oefeningen om te proeven van wat er zoal verkeerd kan lopen bij het manipuleren van verzamelingen, en waarom.

Twee basisbegrippen van de verzamelleer zijn, verzameling en element. In den beginne is er een element e. Daarmee kan je vervolgens een verzameling V definiëren:

V = {e,*}.

(Lees daarbij ", *" als: "en eventuele andere elementen"; impliciet bij te voegen in de meeste verzamelingdefinities hierna, ook de geneste). In principe kan zowat alles element van een verzameling zijn. En een verzameling kan zelf element worden, een element zelf een verzameling zijn.

Maar er zijn restricties, en niet zo'n onbelangrijke. De definitie van een verzameling en die van haar elementen mogen niet van elkaar afhangen, in elkaar grijpen. Er moet een ondubbelzinnige "externe productieregel" voor elk element zijn, onafhankelijk van de verzameling waar het bij gevoegd wordt. Binnenin haar eigen definitie kan een verzameling dan ook geen element zijn van zichzelf, en een element kan niet zijn bezittende verzameling beschrijven:

! V = {e} en e = V kunnen niet tegelijk gelden, noch

! V = {V}.

De gelijkheid op elementniveau wordt verhinderd door de gelijkheid in de verzamelingdefinitie en omgekeerd. De accolades { } vormen een scheiding tussen twee begripsniveaus "verzameling V" en "element e", zodat een object niet tegelijkertijd deze twee niveaus kan bezetten.

Een verzameling heeft wel deelverzamelingen, en is namelijk haar eigen grootste deelverzameling. Maar deze worden gedefinieerd op hetzelfde accolade-niveau als de verzameling zelf. Voor een deelverzameling D geldt

D Ì V, en dus ook

V Ì V. Maar

! V Î V is "verboden" voor verzamelingen, in tegenstelling tot

e Î {e} en V Î {V}.

Deze scheiding dient ook in cascade (of in ketting, of genest) gehandhaafd. Zo kan je twee verzamelingen definiëren:

A = {B}, B = {C}, maar daarbij kan niet

! C = A worden gesteld, want A = {{C}}; en ook niet

! C = B, want B = {C}. De ketting A, B, C kan onbeperkt worden verlengd, maar elke volgende schakel kan niet met enige vorige worden gelijkgesteld ; een

D van C = {D} kan geen A, B of C zijn, enzovoort.

In de gewone omgangstaal daarentegen kunnen vlotweg eigenaardige en zelfs paradoxale verzamelingen worden "gedefinieerd". Zoals we net nog zagen, kan dat eigenlijk zelfs met formele taal, maar dan met een overtreden van de niveauregel:

A = [A]

A = [[{A}]]

B = [A] en A = [B]

Zulke verzamelingen, waarvan we de definities tussen [vierkante haken] zullen plaatsen, leiden een louter taalkundig bestaan: een bestaan dat we "formalastisch" zouden kunnen noemen t.t.z. het taalformalisme misbruikend. Dit ter onderscheid met de formeel correcte status van een wiskundige verzameling, die zoals gebruikelijk tussen {accolades} wordt voorgesteld. De paradoxen die uit [verzamelingen] kunnen voortvloeien zijn taalkundig, niet wiskundig van aard. Toch zien ze er soms bedrieglijk wiskundig uit, en hebben menigeen al verbijsterd.

Voorbeelden van taalzamel:

[een witte verzameling]

(wit is geen eigenschap van verzamelingen, eventueel wel van elementen)

[de derde verzameling]

(gegeven twee verzamelingen. Zie het grapje "Welke (van beide) kies je?" "De derde!")

[een verzameling van elementen die niet tot deze verzameling behoren]

(is tegenstrijdig, maar elementen zijn niet gedefinieerd buiten de verzameling om)

[een verzameling die zichzelf als element heeft]

[een verzameling van verzamelingen die zichzelf als element hebben]

[de verzameling van alle ideeën]

(is zelf een idee). Overigens is er geen universele productieregel om alle ideeën te noemen. Een idee kan worden "gedacht", er kan aan een idee worden gedacht, over een idee, aan het denken over een idee... en ook over het idee van de verzameling van ideeën... Dat geldt trouwens ook voor de volgende verzameling, een heel gekende:

[de verzameling van alle verzamelingen]

Die zou zichzelf als element moeten hebben. Dus kan zij niet bestaan. Er is niet zoiets als een universele verzameling. Men kan hoogstens verwijzen naar een zo algemeen mogelijke referentieverzameling.

Zou men het probleem kunnen verhelpen met een herziene definitie

?{de verzameling van alle verzamelingen, behalve zichzelf}?

Zo krijgen we een formeel correcte verzameling. Blijft het feit dat er geen universele productieregel is om alle elementen te noemen, laat staan om alle verzamelingen daarover te definiëren. Het is dus eigenlijk een grote bak waarin je alles mag stoppen wat je aan samenhangende verzamelingen kunt bedenken, zonder de bak ooit te kunnen vullen.

Bertrand Russell creëerde met

[de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als element hebben]

de volgende paradox.

Indien deze verzameling zichzelf als element zou hebben, is ze zo'n verzameling die niet zichzelf als element heeft wat in tegenspraak is; en indien ze zichzelf niet als element zou hebben, hoort ze bij de verzamelingen die element van zichzelf zijn wat ook in tegenspraak is. Maar zoals we nu weten, bestaan laatstgenoemde verzamelingen eigenlijk niet en vormen samen niets anders dan de ledige verzameling; de verzameling van Russell wordt dan gelijk de universele verzameling, en die bestaat niet. De paradox is taalkundig, niet wiskundig.

Ook hier kan men er toch uit proberen te raken door de vraag waar de verzameling thuishoort ten opzichte van zichzelf, te stellen vóórdat men de verzameling "finaal" definieert, en in die definitie de verzameling zelf te onderscheiden van "alle" overige elementen.

Stel, ze is geen element van zichzelf, dan moet de definitie eigenlijk luiden:

?{de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als element hebben, met uitsluiting van zichzelf}

Is ze echter wel een element van zichzelf, dan wordt de definitie:

[de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als element hebben, én met zichzelf erbij]

Deze laatste kan niet bestaan, want heeft zichzelf als element. Het is eigenlijk andermaal de universele verzameling, immers erbuiten bestaan er ook geen verzamelingen met zichzelf als element. De eerste is de herziene universele verzameling, verbeterd met de clausule "behalve zichzelf".

De universele verzameling is een voorbeeld van waar er in de wiskunde paradoxen op de loer liggen, en wel door het gebruik van het woordje "alle": een heel verraderlijke (maar intuïtief o zo aantrekkelijke) hefboom voor definities van verzamelingen, maar bijvoorbeeld ook bij stellingen allerhande, waarover later meer. De verzameling van Russell toont de subtiele wijze waarop verzameling- en element-definities in elkaar kunnen grijpen zodat minstens een element niet expliciet, buiten de verzameling om, is gedefinieerd. Wat maakt eigenlijk een goed element?

We zagen dat een verzameling haar bestaan ontleent aan dat van een of meer elementen (met inachtname van de nodige omzichtigheid): "in den beginne is er het element". Wat is nu de bestaansinhoud van zo'n element? Men is geneigd te stellen: elk bestaand object kan element zijn van een verzameling. Zijn het object en het element dan hetzelfde ding? Niet dus.

Een object leidt een eigen bestaan, dat zich kan afspelen in de fysieke ruimte en tijd, of zelfs in onze collectieve of jouw persoonlijke geesteswereld. Dat bestaan manifesteert zich buiten welkdanig voornemen ook, om het object in kwestie als verzamelelement te beschouwen.

Een verzamelelement bestaat slechts bij gratie van de wil om het bij een verzameling te betrekken (wel, volgens sommigen bestaan wiskundeobjecten zoals verzamelingen ook wanneer ze niet door iemand worden gedacht). Eenmaal "gewild" kan het element evenwel een onbeperkt aantal malen verschijnen in een onbeperkt aantal verzamelingen.

Een element IS dus niet het object, het is een subjectieve verwijzing naar een objectief object, een naam voor een ding. En het bestaan van de naam hangt niet af van het bestaan van het ding.

Ik kan onbestaande dingen noemen:

de eenhoorn, de vierkante cirkel, de leider van de Martianen, mijn spiegelbeeldige zelf, mijn antimateriële zelf, mijn volgende reïncarnatie, de dichtste reële buur van het getal nul, de dichtste rationale buur van het getal pi.

En vermits onmogelijke dingen genoemd kunnen worden, kunnen ze ook elementen zijn van een verzameling. Of elementen kunnen slaan op onmogelijke dingen. Anderzijds zijn er bij mijn weten geen onmogelijke elementen, zijn er dus geen dingen die niet als element van een verzameling kunnen worden gedacht (er zijn wel onmogelijke relaties element-verzameling).

Voorbeelden van verzamelingen van onmogelijke dingen:

{10 mythologische figuren}

{20 onmogelijke meetkundige figuren}

{de naaste reële buren van 0 en pi, en de natuurlijke wortel van 2}

Je kan steeds wel de nodige elementen van deze verzamelingen bedenken. Daartoe moeten die elementen verwijzen naar objecten waarvan het bestaan of het niet bestaan vastgesteld kan worden buiten het definiërend formalisme om, waarmee element en verzameling worden verbonden.

Verzamelingen zelf kunnen onmogelijk zijn. We noemden er al enkele. Andermaal:

de verzameling van [zichzelf] is een onbestaand wiskundig object.

Dat zijn ook de verzamelingen van:

[alle ongeboren mensen]

[alle onbestaande elementen]

[alle onmogelijke verzamelingen]

Er is hier namelijk geen universele productieregel voor -alle- onbestaande dingen. Zulke onbestaanbare verzamelingen kunnen, zoals elk ander object, op hun beurt als onbestaand ding verzameld worden:

{30 onmogelijke verzamelingen}

Men zegt o zo makkelijk: zij deze appel een element a van verzameling A.

Een appel is, maar hij is geen element van een verzameling. Hij trekt zich niets aan van wat onze geest met het beeld van de appel aanvangt. Wij maken een abstractie "de appel" van de appel, en daarvan maken we een verdere abstractie "element van een verzameling". De appel zelf is een object dat een cyclus van bestaansvormen doormaakt: nog niet gevormd, bloem, bevruchte bloem, kiem, groeiend, al dan niet volgroeid, van de boom gevallen of geplukt, in de schuur, in de winkel, in de fruitschaal, onrijp, rijp, rot, opgegeten... Een geheel van moleculen, atomen, elementaire deeltjes en straling,... Een structuur met een schil, vruchtvlees en een kern met pitten,... Een ding met smaak zus en kleur zo, met gewicht x, waterinhoud y% en met N erop en erin levende organismen, dat alles op een gegeven moment t... "De appel" maakt abstractie van deze aspecten, maar elk daarvan kan zelf weer aanleiding geven tot een geestesbeeld, en verderop tot een element-definitie. Bovendien krijg je naast elk mogelijk element "de appel" het algemeen begrip "Appel" zonder verwijzing naar een specifiek exemplaar, en ook dat kan element worden voor een verzameling. Eén element? Is er wel één begrip "Appel"? De Appel als eetwaar, in de schilderkunst, in de bijbel, in de literatuur, in de landbouwsector, in de economie, in de geschiedenis, in de beschouwingen over de verzamelleer, als louter abstract idee omwille van niets anders... En dan hebben we het nog nauwelijks over het aspect van de Tijd gehad. De appelen van de toekomst, de Appel van de toekomst, en zelfs die van het verleden, zelfs van het heden: niemand "kent" ze of kent ze allemaal, dus er kan geen "volledige" verzameling van worden vastgelegd, kan die verzameling dan "bestaan"? En dan heb je nog de twijfelgevallen... wanneer houdt een appel op appel te zijn? Een onvolgroeide, een verkankerde wildgroei. Of op het pad van de evolutie: wanneer heb je al een appelboom, en wanneer heb je nog een "rozelaar"? Het begrip appel is, zoals alle levensvormen, niet scherp genoeg gedefinieerd om zich ondubbelzinnig af te bakenen van verwante begrippen.

We moeten ons er maar bij neerleggen dat we nooit alle elementen kunnen "produceren", dat de term "alle elementen" een chimere is. En dan ook de term "alle verzamelingen". Laten we dus, ons beperkend tot een fysiek of geestelijk wezenlijk element, eens onderzoeken hoe zo'n element een verzameling kan aankleden.

Een element "de appel" kan namelijk eenmalig, maar ook bij herhaling optreden in de definitie van verzamelingen, zelfs binnen die van één verzameling! Dit doet de vraag rijzen: hoe rijm je de uniciteit van een element met zijn herhaald gebruik? Is het dan nog eenzelfde element, of zijn het klonen van eenzelfde element, of zijn het verschillende dingen die je van elkaar kan onderscheiden?

Een onderscheidend principe moet blijven bestaan, namelijk: elke manifestatie van een element in een of meer verzamelingdefinities moet onderscheidbaar blijven wat betreft zijn plaats of "niveau". Je kan twee dezelfde element-"klonen" niet gewoon naast elkaar zetten. Wel kunnen ze bijv. verschillend ingebed liggen in een of meer verzamelingen.

Zij a = "de appel".

De verzameling {a} is goed gedefinieerd, maar [a,a] is geen correcte definitie. Wel kan je zeggen dat je twee keer aan a denkt, maar dan maak je een nieuw denkbeeld "gedachten aan a", waarvan er dan verschillende "verzameld" kunnen worden:

{a',a"}={eerste en tweede gedachte aan a}

Anderzijds is {a,{a}} opnieuw goed gedefinieerd, want eenzelfde element speelt een rol op 2 verschillende niveaus.

Definieer nu volgende verzamelingen:

{a}

{a, {a}}

{a,{a},{a,{a}}}

{a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}}}

Het element "de appel" vermenigvuldigt zijn bestaan op duizelingwekkende wijze. Is het mogelijk (en nodig?) om al die verschijningen "a" van elkaar te kunnen onderscheiden? Zien we hier een voorbeeld van waar het probleem van het fameuze Keuze-axioma om draait? Ik laat deze vraag maar open...

Wat alvast niet kan, is om dit proces ONbeperkt, "tot in oneindig", voort te zetten:

[a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}},{a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}}}, ...]

Het "oneindigste" element hiervan is immers deze [verzameling] zelf, of nog: de [verzameling] pakt zichzelf als "oneindigste" element in, en verliest daarbij zijn wiskundige natuur.

Zulk procédé wordt nochtans gebruikt om de verzameling natuurlijke getallen op te bouwen, steunend op een element a = de ledige verzameling. Hieruit besluit ik dat men weliswaar elk natuurlijk getal op deze wijze kan construeren (als aantal elementen van een eindige verzameling), maar niet het een of ander getal "omega" of "oneindig" dat aan de limiet de natuurlijke getallen staat op te wachten (want de oneindige [limietverzameling] is wiskundig onbestaande, en kan dan ook geen oneindig aantal benoemen). Zie het thema over het getal oneindig, verderop.

Het kan nog erger. Definieer volgende verzamelingen:

{a}

{a,{a}}

{a,{a,{a}}}

{a,{a,{a,{a}}}}

Onbeperkt voortzetten leidt tot:

[a,[a,[a,[a,[... ...]]]]]

Elk onderdeel [... ...] is identiek aan de [moederverzameling], die dus een "oneindig" aantal keer als element in zichzelf genest ligt.

Je kan een verzameling niet fractaal inbedden in zichzelf, zonder de wiskundige aard van de verzameling te verliezen.

Bestaat de keuze waar/onwaar altijd?

Wat maakt een uiting van de geest tot een bewering, een stelling, een uitspraak over iets? Zijn een bewering, en de stelling dat die bewering waar is, hetzelfde? Over deze vraag even nadenken, en het antwoord is neen. Gegeven een stelling (s), dan is de stelling "s is waar" een nieuwe stelling, net zoals de stelling "s is onwaar". Stellingen die over het waar-zijn van andere (moeder-) stellingen gaan zullen we dochter- of meta-stellingen noemen.

In eerste instantie, in den beginne, is er evenwel een basis- of oerstelling s die niet over het waar zijn van een stelling gaat, ook niet van zichzelf (die laatste bewering zit wel impliciet ingebakken in het expliciet beweerde). Waarover zo'n stelling dan wel gaat: over "iets" in de buitenwereld, over objecten daarin en hun onderlinge relaties.

Het waar zijn of niet van een meta-stelling volgt mechanisch uit het waar zijn of niet van de moeder-stelling, volgens elementaire uitspraken-logica. Maar het waar zijn of niet van een basis-stelling volgt uit een consensus over waarnemingen van een stuk buitenwereld. Het is geen resultaat van uitspraken-logica.

Laat ons nu vertrekken van zo'n oerstelling a, die iets over "de wereld daarbuiten" beweert. Deze stelling genereert nu een onbeperkte reeks metastellingen, als volgt:

a (bijv. a = "alle mensen zijn sterfelijk")

"a is waar"

""a is waar" is waar"

"""a is waar" is waar" is waar"

...

Maar ook:

"a onwaar"

""a onwaar" onwaar"

"""a onwaar" onwaar" waar"

...

en:

"""a waar" onwaar" onwaar"

"""a onwaar" waar" onwaar"

...

waarvan allemaal kan worden onderzocht of die weer waar of niet waar zijn.

Stel dat we "is waar" als 1 schrijven, en "is onwaar" als 0, en zij x de waarheidswaarde van de stelling a zelf (a geeft zichzelf impliciet een 1, maar een expliciete waarneming kan bij consensus een 1 of 0 opleveren). Al de genoemde stellingen nemen zo de volgende vormen aan:

x; x1; x11; x111 ...

x; x0; x00; x001 ...

x100; x010 ...

een willekeurige stelling:

x011100100010010101011101010001...

Er zijn evenveel zulke "eindige" stellingen als er natuurlijke getallen zijn. Daarbovenop zijn er evenveel "oneindige" stellingen als er reële getallen zijn (in binaire ontwikkeling tussen 0 en 1). En vanaf het waar zijn of niet van a (vast te stellen buiten de logica), zijn er ware en onware meta-stellingen, "ware en onware getallen" (vast te stellen binnen de logica).

Niet van alle oneindige meta-stellingen echter kan de waarheid getoetst worden: die overeenstemmend met irrationale getallen (niet repeterende reeksen enen en nullen "tot in oneindig") blijven onbeslist. In feite geldt dat voor alle getallen die tot in het oneindige nullen kunnen bevatten, ook de rationale getallen met nullen in hun repeterende reeksen. Enkel getallen die vanaf een bepaalde rang alleen nog enen hebben zijn beslisbaar.

Inderdaad, in een ketting 11111..., hetzij

""""... is waar" is waar" is waar..." heeft elke schakel dezelfde toestand, waar of onwaar, als zijn voorganger. Dus ook de volledige ketting.

Maar in een ketting waarin onbeperkt de schakel ...0..., hetzij

"... is onwaar" kan optreden, alterneren zulke schakels telkens weer tussen een toestand van waar zijn en een van niet waar zijn. In de limiet is geen van beide toestanden permanent, en de toestand van de volledige ketting blijft onbeslist.

Een andere manier waarop het onderscheid waar/onwaar in een patstelling komt is, wanneer de stelling a, in plaats van objecten in de buitenwereld, als object zichzelf neemt. Een stelling die zichzelf in de staart bijt a.h.w.

We komen dan terecht bij de leugenparadox.

Zolang a over fenomenen buiten zichzelf gaat is er geen probleem, zoals bvb.

a = "alle mensen zijn sterfelijk".

Maar wat met

a = "a is onwaar" ?

Het besluit "a waar" zou dan betekenen ""a is onwaar" is waar", dus "a onwaar", terwijl

"a onwaar" oplevert ""a is onwaar" is onwaar", hetzij "a waar".

Om waar te zijn moet a onwaar zijn, en omgekeerd: er is een tegenstrijdigheid. Stelling a lijkt dus niet te kunnen bestaan, of tenminste geen toestand te kennen van waar of onwaar zijn. Het is een paradox. Waarom?

Een meta-stelling "a is onwaar" neemt de tegentoestand aan van de stelling a waar ze op teruggrijpt. Wanneer zo'n stelling dat echter op zichzelf gaat toepassen wil ze haar eigen toestand tegenspreken! Maar is het dan nog een echte stelling, of enkel een van betekenis ontblote taalspitsvondigheid? Dat laatste lijkt me het geval.

Zo'n stelling is als een acteur die verschillende rollen wil spelen van personages die weliswaar met elkaar moeten dialogeren. Een meta-stelling a zegt dat een stelling a onwaar is, en stelling a zou iets moeten beweren over een buitenwerelds object a.

Maar er ís zo geen object a dat aan een "objectieve" waarheid getoetst kan worden, er ís geen basisstelling a over zo'n object, er is alleen een [meta-stelling a] die zich van de wereld van basisstellingen heeft afgesneden door naar zichzelf te verwijzen. Het is een "formalastisch" monster in de wereld van de logica, zoals de [verzameling die zichzelf als element bevat] in die van de verzamelleer.

En zoals bij de [verzamelingen], kunnen ook [meta-stellingen] elkaar in de staart bijten. Aldus:

[a = "b is onwaar"]

[b = "a is waar"]

Ook hier de paradox: om waar te zijn, moeten a en b onwaar zijn. Laten we nogmaals de logische niveaus expliciet vermelden. Meta-stelling a is waar als stelling b onwaar is, dus als object a onwaar is. Of meta-stelling b is onwaar als stelling a onwaar is, dus als object b waar is. En, mutatis mutandis, nog twee andere formuleringen.

Maar wat zijn de objecten a en b? Er zijn er geen, en er zijn ook geen basisstellingen a en b over. Er is alleen een vals paar [meta-stellingen], zoals eerder A = [B] en B = [A] een vals paar verzamelingen vormde.

De logici hebben, of maken, naar verluidt minder problemen met stellingen als:

a = "a is waar", of nog

a = "b is waar" en b = "a is waar", of

a = "b is onwaar" en b = "a is onwaar".

Hier volgen inderdaad geen paradoxen uit. Ze kunnen schijnbaar vredig naast elkaar (of zichzelf) bestaan, in waarheid of onwaarheid. Toch zijn het even "wereld-vreemde" stellingen, zonder toetsingscriterium in de buitenwereld.

Kan een leugenaar van zichzelf zeggen dat hij liegt?

Ja, maar dan doet hij de op hem slaande definities, namelijk hijzelf als zijnde "iemand die steeds onwaarheid spreekt", of zijn uitspraken als een verzameling {leugens}, in elk geval teniet. Die definities worden namelijk onvolledig of onjuist in het licht van zijn jongste uitspraak.

Stel dat hij het over zijn vroegere uitspraken heeft:

"Ik loog".

Dan is er geen paradox. Er kan immers in principe en objectief nagegaan worden of ie liegt met zijn bewering dat hij liegt (zo ja, dan sprak hij vroeger wel eens de waarheid en was dus geen leugenaar) of, integendeel, de waarheid spreekt (dan was hij vroeger inderdaad een leugenaar, maar met zijn huidige uitspraak niet). Spreker is dus niet langer beperkt tot leugens: de hem betreffende definities dienen herzien.

Het wordt helemaal staartjebijten als hij zich uit komt te spreken over wat hij op het ogenblik zelf beweert:

"Wat ik nu zeg is gelogen".

Deze uitspraak is onbeslisbaar, en alle meta-uitspraken erover meteen ook. Er is een paradox. Maar er is dan ook geen zuiver-op-de-graat-uitspraak. Hij gaat over zichzelf en levert geen falsifieerbaar criterium dat, buiten de uitspraak om, op waarheidsgehalte getest kan worden. Hij is als een element dat zichzelf tot zijn opsommende verzameling opblaast, of als een verzameling die niets anders opsomt dan zichzelf... Het is wel een taalkundig correcte zin, maar geen stelling. Dus ook geen leugen: de definities dienen herzien. En de paradox verdwijnt.

Het is het vasthouden aan (eerder gedane) definities in het licht van nieuwe stellingen (of onfalsifieerbare "zinnen") dat leidt tot paradoxale of pre-paradoxale situaties. Het volstaat de definities aan te passen.

Er zijn overigens genoeg zinnen die geen stelling zijn. Vraagzinnen bijvoorbeeld: Regent het? Wie is dat? Is die stelling waar? Of een gebod: spreek! Niet roken. Van die zinnen op zich stel je niet de vraag of ze waar zijn. En wat met sprookjes: er was eens... Als de leugenaar je nu eens opdroeg om de directeur te vragen of hij een sprookje wil vertellen? Dan heb je geen leugen (meer). Maar het karakteristieke van de staartbijtzin is wel dat hij het formalisme van een logische uitspraak imiteert, het is een "formalasme".

De leugenaar is er andermaal niet enkel toe beperkt zichzelf in de staart te bijten. Er kan meer dan een partij in de vicieuze cirkel zitten:

A: "B liegt."

B: "A heeft gelijk."

Nogmaals, als het over hun vroegere beweringen gaat is er geen probleem tenzij een herziening van de definitie van de leugenaar(s).

Maar je krijgt de paradox bijv. met:

A: "Wat B nu gaat zeggen is gelogen."

B: "Wat A net zei is de waarheid."

Dat is eenzelfde soort kortsluiting als bij de twee verzamelingen die elkaar als hun respectieve element definiëren. En we zijn weer terug bij "kale taal": zinnen die zich als logische stellingen aanbieden om een van logische grond gespeende uitspraak te doen.

Sommige leugenparadoxen lijken op de paradox van Russell in de verzamelleer.

Zo is er de paradox van de kapper: de kapper van het dorp kapt alle mannen van het dorp die niet zichzelf kappen. Kapt de kapper zichzelf of niet? Zo ja, dan niet. Zo nee, dan wel.

En zoals bij de paradox van Russell, bestaat ook de kappersparadox bij gratie van onvoldoende uitgedrukte verbanden tussen de verschillende medespelers.

In dit geval is de paradox te wijten aan het onterecht gelijkstellen van twee verzamelingen, namelijk:

K1 = {mannen van het dorp die niet zichzelf kappen}, en

K2 = {mannen van het dorp die door de kapper gekapt worden}.

Dat kon gebeuren omdat de relatie van het element

k = "man van het dorp die kapper is"

tot K1 (of tot K2) niet vermeld werd, laat staan in de probleemstelling meegerekend. Als dat eenmaal gebeurt, dan kan K2 correct worden afgeleid van K1 (of omgekeerd) én van diens relatie tot k.

De uitweg bestaat dan ook, bijvoorbeeld, in het antwoord op de vraag:

Hoort k in K1 ?

Indien ja (k kapt niet zichzelf), dan luidt de juiste relatie:

"k kapt allen van K1, behalve zichzelf", of

K2 = K1 zonder {k}.

Indien nee (k kapt zichzelf), dan wordt de relatie:

"k kapt allen van K1, én zichzelf", of

K2 = K1 samen met {k}.

(Je kan zoals gezegd de oefening ook doen door de relatie k-K2 te bekijken en daaruit K1 af te leiden.)