Een konijnenhistorie

• Het vraagstuk van Fibonacci uit 1202

Een konijnenpaartje blijft niet lang leven. Dit inspireerde de Italiaanse wiskundige Leonardo di Pisa, bekend als Fibonacci, tot het stellen van het volgende probleem.

Een boer ging naar de markt in Pisa en kocht er een twee konijnen; één van het mannelijk en één van het vrouwelijk geslacht. De eerste maand brengt dit koppel nog geen langoren voort, maar na de tweede maand worden de eerste twee konijnen geboren. Gedurende de daaropvolgende maanden brengt dit eerste koppel steeds een nieuw koppel konijnen van een verschillend geslacht ter wereld. 

Er wordt er van uitgegaan dat  de nakomelingen van dit eerste koppel op hun beurt twee  jongen voortbrengen met een snelheid van één koppel langoren per maand.

Met hoeveel koppels konijnen wordt gedurende de komende maanden de familie uitgebreid, in de veronderstelling dat geen enkel koppel sterft en er telkens een paar konijnen van een verschillend geslacht geboren worden ?

• Verduidelijk het ontstaan van de rij van Fibonacci en stel een algemene formule op voor de n-de term van de rij

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ……….

• Bereken daartoe het totaal aantal konijnenkoppels na een aantal maanden

Het volgende applet illustreert de boomstructuur van dit aantal konijnenkoppels

Je kan hier zelf, stap voor stap, de 'vertakkingen' oproepen

Op het einde van de eerste maand F(1) = 1

Op het einde van de tweede maand F(2) = 1

Na 3 maand F(3) = 2

Na 4 maand F(4) = 3

Na 5 maand F(5) = ….

Na 6 maand F(6) = ….

Na 7 maand F(7) = ….

• Welk verband zie je tussen 3 opeenvolgende termen van de rij van Fibonacci ?
  

• Veralgemeen deze formule. Noteer de term F(n) in functie van de vorige